于是(1–2)
p1Tp2
=
0,
但是1
, 故p pT 2 1 2 线性代数电子教案(1)
=
0.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵
定理4.9. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得
Q –1AQ = = diag(1, 2, …, n), 其中1, 2, …, n为A的全部特征值,
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理4.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.
定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同
的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.
事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,
从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例1.
求A
=
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A| =
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于2=4, (4E–A)x = 0 即
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
可得
0 10
200
Q = 1/ 2 0 1/ 2 , Q1AQ = QTAQ = 0 4 0 .
1/ 2 0 1/ 2
004
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
注: 对于2=3=4, 若取(4E–A)x = 0的基础解系
2=(1, 1, 1)T, 3=(–1, 1, 1)T,
= O.
由此可得(k1p1, k2p2, …, kmpm) = O.
因而k1 = k2 = … = km = 0.
这就证明了p1, p2, …, pm是线性无关的.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
定理4.3. Ann ~ 对角矩阵 有n个线性无关的
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
1 2 3 例7. A = 1 4 3 有一个2重特征值.
1a5
(1) a = ?
(2) A 是否可以相似对角化?
1 2 3 解: |EA| = 1 4 3
1 a 5
= (2)(2 8 + 18+3a).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
………… an1 an2 … a1n
A的迹: tr(A) = a11 + a22 + … + a1n
(1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
(2) tr(kA) = ktr(A);
(3) tr(AB) = tr(BA).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
性质4. 设A~B, 则tr(A) = tr(B). 证明: P 1AP = B
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4.
为(A) = 2A2 –3A +4E的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4E)x
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1) = tr(A).
§4.1 相似矩阵
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
四. 相似对角化 1. 定义:
§4.1 相似矩阵
1 0 … 0
A~ =
0 2 … 0
…………
= P 1AP
0 0 … n
P = (1, …, n)可逆 1, …, n线性无关
对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR).
对于2=3=1,
求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T.
对应于2=3 =1的特征向量为线性k代p数电2子(教0案(1)kR).
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例3. 求
的特征值和特征向量.
解: |E–A| = (+1)( –2)2.
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
200
200
例8. A = 0 0 1 ~ B = 0 y 0
01x
0 0 1
(1) x = __0__, y = __1__.
100 011 (2) P =__0___1___1__满足P 1AP = B.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
所以 ()为 (A)的特征值. 线性代数电子教案(1)
例6. 设1, 2, …, m为方阵A的m个不同的特征值,
p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关.
证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则
(k1p1, k2p2, …, kmpm)
则需要将它们正交化. 取1= 2,
2= 3
[3, 2] ||2||
2 =
1 1 1
1 3
1 1 1
=
2 3
2 1; 1
再单位化, 即得
0 1/ 3 2/ 6
Q = (q1, q2, q3) = 1/ 2 1/ 3 1/ 6 .
1/ 2 1/ 3 1/ 6
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A
的对应于1, 2, …, n的标准正交特
征向量.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
400 例9. 把A = 0 3 1 正交相似对角化.
013
解: |E–A| = (–2)(–4)2.
所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2E–A)x = 0的基础解系1= (0,1, –1)T. (4E–A)x = 0的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即
特征向量.
定理4.4.
1, …, s
☺
1 A 2 1, …, r
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
定理4.4.
☺
1 A 2
1, …, s
1, …, r
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
定理4.5.
推论. 若Ann有n个不同的特征值, 则A可以 相似对角化.
例1, 例2, 例3
线性代数电子教案(1)
例1.
求A
=
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A| =
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于1=2, (2E–A)x = 0 即
x1 + x2 = 0 x1 x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
(0 k R).
A的对应于1=2的特征向量为线性代数kk电子(教0案(1) kR).
性质7. |E–A| = |E–AT|.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
二. 相似矩阵的定义
§4.1 相似矩阵
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.
易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; (2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C.
§4.1 相似矩阵
===
|P 1||A||P|
|P|1|A||P|
|A|
性质3. 设A~B, 则r(A) = r(B).
证明: P 1AP = B r(A) = r(B).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2.
(–E–A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T.
对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR).
(2E–A)x = 0的基础解系:
p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T.
对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3
(k2, k3不同时为零).
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为