A 也是 B 的子
相等 集，就说两个集合 相等
A＝B
如果在某个特定的场合，要讨论的对
全 象都是集合 I 的元素和子集，就可以 集、 约定把集合 I 叫作全集．若 A 是全集 ∁IA
补集 I 的子集，I 中不属于 A 的元素组成 的子集叫作 A 的 补集
2.常用结论 (1)任意一个集合A都是它本身的 子集，即
规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示， 这也属于集合表示的图示法。注意在数轴上，若端点值是集
合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则 用空心点表示。
跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试 判断集合A和B的关系。
解 A＝{－3,2}，B＝. x|x＞－72 ∵－3＞－72，2＞－72， ∴－3∈B,2∈B∴A⊆B 又 0∈B，但 0∉A，∴AB.
A⊆A .
(2)空集是 任意一个集合 的 子 集 ， 即 对 任 意集合A，都有 ∅⊆A .
要点一 有限集合的子集确定问题 例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． 解 由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}．
解 (1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数 对，故 A 与 B 之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的 三角形，故 A B. (3)集合 B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可 知 A B.
(4)由列举法知 M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故 N M.
跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数． 解 当M中含有两个元素时，M为{2,3}； 当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}； 当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}； 当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}； 所 以 满 足 条 件 的 集 合 M 为 {2,3} ， {2,3,1} ， {2,3,4} ， {2,3,5} ， {2,3,1,4} ， {2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.
求实数m的取值范围．
解 ∵B⊆A， (1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2. (2)当 B≠∅时，有－m＋3≤1≤2m4－，1，
2m－1＜m＋1， 解得－1≤m＜2，综上得实数 m 的取值范围为{m|m≥－1}．
规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合。(2)利用数轴分析法，将 各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误。 2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
要点二 集合间关系的判定 例2 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．
由 此 得 集 合 A 的 所 有 子 集 为 ∅ ， {1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {1,3} ， {2,3} ， {1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非 空真子集有2n－2个．
[预习导引] 1．集合之间的关系
关系
概念
符号表示
如果集合 B 的每个元素都是集合
A 的元素，就说 B 包含于 A，或者
子集
B⊆A
说 A 包含 B.若 B 包含于 A，称 B
是 A 的一个 子集
图形表示
真子 如果 B 是 A 的子集，但 A 不是 B 的 A ‫ ﬤ‬B 集 子集，就说 B 是 A 的 真子集
集合的包含关系
[学习目标] 1．明确子集，真子集，两集合相等的概念； 2．会用符号表示两个集合之间的关系； 3．能根据两集合之间的关系求解参数的范围； 4．知道全集，补集的概念，会求集合的补集．
[知识链接] 1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，
则它们的大小关系是 a＝b 。
2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1 时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
要点三 简单的补集运算
例3 (1)(2013·大纲全国)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝( )
A．{1,2}
B．{3,4,5}
C．{1,2,3,4,5}
D．∅
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________. 答案 (1)B (2){x|x＜1}
解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，
∴∁UA＝{3,4,5}． (2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}． 规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图； 当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA) ＝U.
跟踪演练3 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝ ________.
答案 {x|x＝－3，或x＞4}
解析 借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x＞4}．
要点四 由集合间的关系求参数范围问题 例4 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.