顶部有一小物体A。今使无初
速度放置在球的最高点,现在 给其一扰动，则物体将（ ）
A、沿球面下滑至M点 B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动 C、立即离开半球面做平抛运
动 D、以上说法都不正确
m
R O
N M
动.(1)若过小球恰好能通过最高
N
点，则小球在最高点和最低点的
速度分别是多少？小球的受力情
mg O
况分别如何？(2)若小球在最低
R
点受到管道的力为6mg，则小球
在最高点的速度及受到管道的力
是多少？
例题3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达
最高点时，恰好支架对地面无 O
m
压力.设M=3m.求：（1）小球在 M
最高点时的速度大小是多少？
（2）支架对地面的最大压力是
多少？
练习3、如图所示，支架的质量
为M，转轴O处用长为L的轻绳悬
挂一质量为m 的小球.若小球在
竖直平面内做圆周运动，到达最
高点时，恰好支架对地面的压力 O
m
mg.设M=3m.求：（1）小球在最 M
a v2 2 r
r
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、 轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条 件不同.
1、无物体支持小球圆周运动临界问题（绳和轨道圆周运动问题）
（1）过最高点临界条件： mg=mv2/R v临界 gR
（2）能过最高点条件:v≧ v临界 （3）不能过最高点条件：v＜v临界
（如图5）
火车转弯
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越轨 一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道，这又 是为什么？
介绍火车车轮的特殊构造； 直道行使时，火车受力情况：重力、铁轨的支持力、机车
的牵引力、空气及铁轨的阻力。轮缘并不与铁轨相互作用。 那么当火车转弯时需要的向心力是靠外轨对轮缘的挤压力。 则：F=mv2 /r。
其在竖直面内作圆周运动.(1)若
N
过小球恰好能通过最高点，则小
mg
球在最高点和最低点的速度分别
O
是多少？小球的受力情况分别如
何？(2)若小球在最低点受到杆
子的拉力为5.5mg，则小球在最
高点的速度及受到杆子的力是多
少？
练习2：如图所示，一质量为m的
小球，放在一个内壁光滑的封闭
管内，使其在竖直面内作圆周运
mg
O 绳
mg
O 轨道
2、有支持物体的小球圆周运动的临界条件（杆或管道类的问题）
N
N
mg O 杆 （1）过最高点临界条件：
mg 管道O
mg=FN v临界=0 （2）当0＜v＜ gR 时，FN虽v的增大而减小，且mg>FN>0. （3）当v= gR 时，FN =0 （4）当v＞ gR 时， FN虽v的增大而增大，且FN>0。（FN为拉力）
火车质量和速率都相当大，F 也相当大，根据牛顿第三定律， 轮缘对外轨的作用力F’与力F大 小相等，方向相反，外轨在这个 力的挤压下很容易损坏
火车能在高出路面的工字型轨道滚滚向前而不越 轨一寸，这是为什么？火车能安全的通过弯道， 这又是为什么？
FN
F合
G
汽车过拱桥
❖ 一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥，
例题1：如图所示，一质量为m
的小球，用长为L细绳系住，使
其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，
则小球在最高点和最低点的速
mg
度分别是多少？小球的受力情
O
况分别如何？(2)若小球在最低
点受到绳子的拉力为10mg，则
小球在最高点的速度及受到绳
子的拉力是多少？
练习1：如图所示，一质量为m的
若桥顶能承受的最大压力为 F 3，m为g 了安全
行驶，汽车应以多大速度通过桥顶？
❖
解析：如图所示，由向心力公式得
v2
❖
4mg FN 4m R
❖
FN

4mg
4m
v2 R
①
❖ 为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥 面，根据牛顿第三定律支持力的取值范围为
❖ 0 FN 3mg
❖ 将①代入②解得
例题5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
顶部有一小物体A。今给它一
m
v0
个水平初速度 v0 gR ,则
物体将（ ）
R
N
O
M
A、沿球面下滑至M点
B、沿球面下滑至某一点N，
便离开球面做斜下抛运动
C、立即离开半球面做平抛运
动
D、以上说法都不正确
练习5：如图所示，半径为R
的光滑半圆球固定在水平面上，
这就涉及到了有关竖直面内圆周运动的临界问题讨论： 首先就需要了解竖直面内的圆周运动如何分析。
一、竖直面的圆周运动
一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合 外力除了具有与速度垂直的法向力以外， 还有与速度平行的切向力，那么物体的速 度不仅方向变化，大小也会变化.(对此，高
考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置 上的动力学问题.关系式依然适用，只是不同位 置对应不同的v或ω而已.)
竖直面 内的圆周运动
下列物体做匀速圆周运动时，向心力分别由什么提供？ 1、人造地球卫星绕地球运动时。 2、小球在光滑的水平桌面上运动。 （如图1） 3、小球在水平面内运动。（如图2） 4、玻璃球沿碗（透明）的内避在水平面内运动。 （如图3）
（如图1）
（如图2）
（如图3）
5、使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动， 转台与物体间没有相对滑动。（如图5）
小球，在半径为R 光滑轨道上，
使其在竖直面内作圆周运动.(1)
若过小球恰好能通过最高点，则
小球在最高点和最低点的(2)若小球在最低点受到 轨道
轨道的弹力为8mg，则小球在最
高点的速度及受到轨道的弹力是
多少？
例题2：如图所示，一质量为m的
小球，用长为L轻杆固定住，使
②
1 Rg v Rg 2
杂技表演的“水流星”
“水流星”就是把总质量为M的盛有水的桶，系在长 L的绳子一端，使桶在竖直平面内绕绳另一端做圆 周运动，要使桶运动到最高点时水不流出。表演 过程中不管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出， 甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口 朝下，水也不会从杯子里洒出。这是为什么？
的加速度大小为______，刚滑
过B点时的加速度大小为_____.
练习4:如图中圆弧轨道AB是
在竖直平面内的1/4圆周，在
B点，轨道的切线是水平的. A h
一质点自A点上方高h处从静
止开始下落，不计滑块与轨
B
道间的摩擦和空气阻力，则
在质点刚要到达B点时的加速
度大小为______，刚滑过B点
时的加速度大小为_____.
高点时的速度大小是多少？（2）
改变小球的速度，在保证小球仍
能作圆周运动的前提下，当小球
运动到最低点时，支架对地面的
最小压力是多少？
例题4:如图中圆弧轨道AB是在
竖直平面内的1/4圆周，在B点，
轨道的切线是水平的.一质点 A
自A点从静止开始下滑，不计
滑块与轨道间的摩擦和空气阻
B
力，则在质点刚要到达B点时