ke 第1次作业1、考虑一个工作申请的博弈。

两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。

工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。

现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问：a ．写出以上博弈的战略式描述b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡） 解：a ．写出以上博弈的战略式描述学生B学生Ab ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）①存在两个纯战略纳什均衡： （企业1，企业2），收益为)2,1(W W ;（企业2，企业1），收益为)1,2(W W 。

②存在一个混合策略均衡：学生A 选择企业1的概率为p ，选择企业2的概率为p -1;学生B 选择企业1的概率为q ，选择企业2的概率为q -1。

当学生A 以)1,(p p -的概率选择时，学生B 选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，同时当学生B 以)1,(q q -的概率选择时，学生A 选择企业1与选择企业2的期望收益相等，即：221).1(2.1)1(121.W p W p W p W p -+=-+ 221).1(2.1)1(121.W q W q W q W q -+=-+ 解得：21212W W W W p +-=,211221W W W W p +-=-；21212W W W W q +-=,211221W W W W q +-=-所以，混合策略纳什均衡为：学生A 、B 均以)21122,21212(W W W W W W W W +-+-的概率选择企业1，企业2。

2、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为P Q -=100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。

若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。

问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 解：设两个厂商的边际成本分别为1c 、2c 。

)(100100)(21q q Q Q P P +-=-==两个厂商的利润函数为：1211111111)].(100[).(..q q q c q c P q c q P u +--=-=-=2212222222)].(100[).(..q q q c q c P q c q P u +--=-=-=解得：12111)].(100[max max 11q q q c u q q +--=22122)].(100[max max 22q q q c u q q +--=对其求导并令导数为0，解得反应函数为：)100(21)(21211q c q R q --==)100(21)(12122q c q R q --==纳什均衡),(*2*1q q 即（20,30）为两条反应函数的交点)30100(21201--=c)20100(21302--=c解得： 301=c 202=c4001=u9002=u答：两个厂商的边际成本各是30，20;利润分别为400，900。

3、2个公司同时选择0A x ≥和0B x ≥，并且假设公司的收益为：(,)A A B A A B AA BV x ifx x u x x x if x x -≥⎧=⎨-〈⎩；(,)B B A B A B AB AV x ifx x u x x x if x x -≥⎧=⎨-〈⎩其中，0V 〉。

试求Nash 均衡。

解：求解A 的反应函数 (此题过程略有问题)0 V x B >=A x 0或V V x B =B x V x B <0 V x A >=B x 0或V V x A =A x V x A <纳什均衡： []V x x B A,0∈=4、有2个人共同拥有1单位的资源。

每个人都必须选择多少资源和对方斗争和利用多少资源进行生产。

假定个体i(i=1,2)利用Y i 的资源进行斗争，那么总的产出为2-Y 1-Y 2.个体i 获得产出的份额P i (Y 1,Y 2)满足下式：121,(,)0.5,0,i j i i j i jif Y Y P Y Y if Y Y if Y Y ⎧〉⎪==⎨⎪〈⎩如果每个人都只是关注他所获得的产出（自己获得的产出越多越好）。

试求此博弈的NASH 均衡。

解：总产出：21-2Y Y -=π。

由已知等式可得：（1）当y1<y2或y1>y2时，即y1≠y2时，均存在偏离状态，不存在纳什均衡; （2）当y1=y2时：1）若y1=y2≠1，则存在偏离状态，不存在纳什均衡 2）若y1=y2=1，则存在纳什均衡，都不会偏离。

2121212121211,0),2(21,--2),(y y y y y y y y y y y y U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->=1212211221212,0),2(21,--2),(y y y y y y y y y y y y U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->=5、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度[0,1](1,2)i e i ∈=，成本为()(1,2)i c e i =，该项目的产出为12(,)f e e 。

个体的努力程度不影响到项目的分配方法，项目的产出在2个体之间均分。

试回答以下问题： 1、如果1212(,)3f e e e e =，2()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的的Nash均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。

2、如果1212(,)4f e e e e =，()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的的Nash均衡。

解：（1）两博弈方的收益函数为：2121121123)(),(21e e e e c e e f u -=-=2221221223)(),(21e e e e c e e f u -=-=求导并使导数等于0，求出反应函数为： 221143)(e e R e == 112243)(e e R e ==纳什均衡),(*2*1e e 为两条反应函数的交点，代入得出：0,0*2*1==e e纳什均衡为（0,0），故此两个人都不会努力的（2）两博弈方的收益函数为：12112112)(),(21e e e e c e ef u -=-= 22122122)(),(21e e e e c e e f u -=-= 分别求导：12211-=∂∂e e u 12122-=∂∂e e u [0,1](1,2)i e i ∈= ①)21,0[=i e 时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度为0， 此时纳什均衡为（0,0）; ②21=i e 时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为)21,21(;③]1,21(=i e 时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（1,1）.6、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。

问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵1：（活着，活着）（死了，死了）可以看出这对夫妻间感情十分深厚。

这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。

如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。

矩阵2：（活着，活着）（活着，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情一般。

这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。

矩阵3：（活着，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情很槽糕。

这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。

一个死了，对于另一个来说反而更好。

第2次作业1、一寡头市场上有企业1和2。

企业1和2现在生产的边际成本都为不变的边际成本c(c>0),即ci(Qi) =cQi ；企业如果进行投资f （f>0）,那么其生产的边际成本为0。

企业2能够观察到企业1是否进行投资f 。

在企业2观察到企业1是否进行投资f 后，企业1和2同时决定产量。

假设市场的需求函数为P(Q)=a −Q(a>c)，其中，Q=Q1+Q2。

试求f 不超过多少时，企业1才会进行投资？解：P=a-Q=a-Q1-Q2（1）如果企业1不投资：企业1的利润: ()11211cq q q q a ---=π 022111=---=∂∂c q q a q π企业2的利润：()22212cq q q q a ---=π 021222=---=∂∂c q q a q π联立上式得：3*2*1c a q q -==32,9)(2*2*1c a P c a +=-==∴ ππ（2）如果企业1投资f ：企业1的利润: ()f q q q q a ----=11211*0π 022111=--=∂∂q q a q π企业2的利润：()22212cq q q q a ---=π 021222=---=∂∂c q q a q π联立上两式得：)2(,32,3**2**1c a c a q c a q >-=+=fc a c a P-+=+=∴9)(,32**1** π 当**1π> *1π时，企业1才会进行投资，即：949)(9)(22acf c a f c a <⇒->-+ 所以，当94ac f <时，企业1会进行投资2、（政府对研发的补贴博弈）有2个国家i=1,2各自都有一个企业生产相同的产品出口到世界市场上。

世界市场对该产品的需求为21q q a p --= ，每个公司的生产成本为)940()(a c a cq q C i i <≤≤=。

设i x 为国家i 对企业i 的研发补贴水平。

当国家i 对企业i 的研发补贴后，企业的生产成本变为)2,1()()(=-=i q x c q C i i i 。

假设政府对企业i 的研发补贴水平达到产量i x 的总成本为：2)(2i i i x x TC =。

这个博弈通过2个阶段进行：（1）政府选择补贴水平（2）在观察到政府的补贴水平后，企业同时选择产量水平0≥i q 。

求企业i(i=1,2)的最优产出水平和国家i=1,2 的最优补贴水平。

解：（1）企业1，2的收益函数()1112111)()(q x c q q q a q ----=π ()2222122)()(q x c q q q a q ----=π 分别求导 02)(12111=+-+--='x c a q q qπ 02)(21222=+-+--='x c a q q qπ 可得 32211x x c a q -+-=32122x x c a q -+-=（2）国家1,2的收益函数()2)()(211112111x q x c q q q a x w -----=()2)()(222122122x q x c q q q a x w -----=分别求导 02)(1111=--='x q x w02)(2222=--='x q x w最后可得5)(421c a x x -== 5)(321c a q q -== 3、考虑改变的Cournot 模型。