（2） kf ( x) d x k f ( x) d x(k 0) 3．直接积分法。
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抽象归纳 不定积分的基本公式
F ( x) f ( x) f ( x) d x F ( x) C (sin x) cos x cos x d x sin x C ;
的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化
1 率模型为 Q ( p ) A ln 2 ( ) （也称边际需求），其中p 2
p
表示商品的价格，求这种商品的需求函数.
1 p Q ( p ) [ A ln 2 ( ) dp 解 2 1 A ln 2 ( ) p d p 2
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案例4.2的解 求积分，得
1 1 2 1 s 1 t d t 1d t t d t t t C. 3 6 3
s 0. 代入上式，得 C 0. 于是， 依题意，当 t 0 时，
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例1 求下列不定积分： （1） （3） 解
x
7
d x.
（2）

1 d x. x
x x 3 e d x.
1 71 1 8 x C x C. （1） x dx 7 1 8
7
（2）

1 1 1 1 1 dx x 2 dx x 2 C 2 x C. 1 x 1 2
1 1 p A ln 2 ( ) C ln 2 2
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1 A( ) p C. 2
将 p 0 ,Q A 代入上式，得 C 0. 所以这种商品的
1 Q ( p ) A( ) . 需求函数为 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
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直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不 定积分的方法叫做直接积分法．
x (3 e ) x x x 3 e dx (3 e ) （3） dx ln(3e) C.
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不定积分的基本运算法则
法则１ 两个函数代数和的不定积分等于各个函数
的不定积分的代数和，即
类似地，可以推导出其他基本积分公式：
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1d x x C
1 1 x dx 1 x C ( 1)

1 x d x ln x C
x a x a d x ln a C

1 1 x
2
d x arcsin x C
1 1 x 2 d x arctan x C
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问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？
1 x d x ln x C .
得
1 2 st t . 6 将 t 3 代入上式，得
1 2 s 3 3 1.5. 6
即列车在离站台1.5公里处开始制动.
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例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时
例3 求 解

x 1
x
2
2
d x.

x 1
x
x2 2 x 1 dx dx x
1 1 2 x 2 d x x 2 x ln x C. x 2
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经ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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x x e d x e C
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sin x d x cos x C cos xdx sin x C
2 sec x d x tan x C
2 csc xdx cot x C
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2 x2 dx. 例4 求 2 1 x 2 x2 1 x2 1 d x 2 dx 解 2 2 1 x 1 x
1 2 1 dx 2 1 x
2 x 2arctan x C
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例2 求 ( x 2cos x 3) d x. 解
( x 2cos x 3) d x
x d x 2cos x d x 3d x
x d x 2 cos x d x 31d x
1 2 x 2sin x 3 x C. 2
得 t 3, 即 3 分钟后列
车停下来. 设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，
则
1 s 1 t d t. 3
若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程 s s(t ). 于是，将 t 3代入该方程，可求得制动点的距离为s(3) 因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.
案例4.2 列车的制动点：列车快进站时必须制动减
1 速．若列车制动后的速度为 v 1 t （kg/min），问列 3
车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？
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分析
1 令 v 1 t 0, 3
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4· 2 不定积分的基本公式与运算法
则、直接积分法 案例研究
我国自行研制的动车组列车
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p
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小结：
1．不定积分的基本公式：10个公式，要熟记； 2．不定积分的基本运算法则： （1）
f ( x) g ( x) d x f ( x) d x g ( x) d x
讨论 当 x 0 时，有
ln x (ln x) 1 ,
x
当 x 0 时，也有
( x) 1 1 ln x ln( x) x x x 1 ln | x | 所以 是 的原函数. x