圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。
（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。
2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。
（132322=+y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。
例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-=).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x（Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩ 即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A，则229,,22,1313A B A BA B A B x x x x OA OB x x y y k k -+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++2222937(1)2.1331k k k k -+=++=--于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ② 由①、②得.1312<<k 故k的取值范围为(1,(33--⋃例4、已知椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b ,点)P 在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足||||AQ AO =,求直线OQ 的斜率的值.解:因为点(,)52P a a 在椭圆上,故22222251528a a a a b b +=⇒=,于是222222318a b b e a a -==-=,所以椭圆的离心率e =(2)设直线OQ 的斜率为k ,则其方程为y kx =,设点Q 的坐标为00(,)x y变式1、已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =,求直线AB 的方程.变式2、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()11,0F -且点()0,1P 在1C 上. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切,求直线l 的方程.解析:(Ⅰ)由左焦点()11,0F -可知21c =,点()0,1P 在1C 上,所以2222011a b+=,即21b =,所以2222a b c =+=,于是椭圆1C 的方程为2212x y +=.(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,假设其方程为y kx b =+.联立2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,可得()222214220k x kbx b +++-=,由()()()2224421220kb k b ∆=-+-=可得22210k b -+=①.联立24y xy kx b ⎧=⎨=+⎩,消去y ,可得()222240k x kb x b +-+=,由()2222440kb b k ∆=--=可得1kb =②.由①②,解得k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以直线方程为y =+y x =-. 变式3、设点P 的轨迹为曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求出C 的方程；（2）若k =1，求AOB ∆的面积；（3）若OA OB ⊥，求实数k 的值。
解（1）2214y x +=（2）由2221523044y x x x x y =+⎧⇒+-=⎨+=⎩1231,538(1,0),(,)55x x A B ∴=-=∴-故1841255AOBs =⨯⨯=（3）设1122(,),(,)A x y B x y由122(4)2302244230,,12122244y kx k x kx x y k x x x x k k ⎧⎪=+⇒++-=⎨+=⎪⎩∴∆〉+=-=-++又2121212120(1)()10OA OB x x y y k x x k x x ⊥⇒+=⇒++++=①代入②得：241012k k -+=∴=±例5、如图,直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔPAB 面积的最大值.解(1)解方程组481212-==x y xy 得2411-=-=y x 或4822==y x即A(－4,－2),B(8,4),从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2).令y=－5,得x =5,∴Q(5,－5)． (2)直线OQ 的方程为x +y=0,设P(x ,81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点,且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x =8时,ΔOPQ 的面积取到最大值30．变式1、已知直线L 与抛物线2y =x 相交于A （1,1y x ）、B （2,2x y ）两点，若y 1y 2=-1 (1)求证：直线L 过定点M ，并求点M 的坐标。