基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积 累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的 模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学 知识来解决问题。

在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

举例： 1、与相似及圆有关的基本图形3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参 见（一）1 ；（二） 1；西城中考总复习 P57例 6】*（2）与中点相关——倍长中线 （八字全等） ，中位线， 直角三角形斜边中线； 【参见（ 一）2、 3、4、5】*（3）共端点的等线段——旋转基本图形（ 60°， 90°），构造圆；垂直平分线，角平分线 ——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见第1页几何综合题CEC'AACC 形BDOB（一）6,7,8,9 】（4）特殊图形的辅助线及其．迁．移．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见（一）7 】作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。

（P5——2006 北京，25* ）注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

题目举例在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。

注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。

第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。

第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。

此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。

（一）基本图形与辅助线的添加#角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6）1、（2010 宣武一模，23）已知：AC平分MAN（1）在图1中，若MAN 120 ，ABC ADC 90 ，AB AD ___ AC 。

（填写“ ”或“ ”或“ ”）（2）在图 2 中，若MAN 120 ，ABC ADC 180 ，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图 3 中：①若MAN 60 ，ABC ADC 180 ，判断AB AD与AC的数量关系，并说明理由；②若MAN （0 180），ABC ADC 180 ，则AB AD ________________ AC（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）23. (1) AB ADAC．(2) 仍然成立．证明：如图 2 过C作CE⊥AM 于E，CF⊥AN 于F，则∠CEA=∠CFA=90°．∵ AC 平分∠ MAN，∠MAN=12°0 ，∴ ∠ MAC∠= NAC=6°0 ．又∵ AC=AC，∴ △AEC≌△ AFC，∴ AE=AF，CE=CF．∵ 在Rt △ CEA 中，∠ EAC=6°0 ，∴ ∠ ECA=3°0 ，∴ AC=2AE．∴ AE+AF=2AE=AC．∴ ED+DA+AF=AC．∵ ∠ ABC＋∠ AD C＝180°，∠ CDE∠+ ADC=18°0 ，∴ ∠ CDE∠= CBF．又∵ CE=CF，∠ CED∠= CFB，∴ △CED≌△ CFB．∴ ED=FB，∴ FB+DA+AF=AC．∴ AB+AD=AC．-----------------------分(3) ①AB+AD= 3AC．证明：如图3，方法同(2) 可证△ AGC≌△AHC．∴AG=AH．∵∠MAN=6°0 ，∴∠GAC∠= HAC=3°0 ．∴AG=AH= 3 AC．∴ AG+AH= 3AC．2∴GD+DA+AH=3 AC．方法同(2) 可证△ GDC≌△HBC．∴GD=H，B ∴ HB+DA+AH=3 AC．∴AD+AB= 3 AC．--------------------------------- 6 分②AB＋AD＝2cos·AC．--------------------2分中位线/ 中线*2 、（2010 海淀一模，25）已知：△AOB中，AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3, ∠ABO ∠DCO. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P分别为OA、OD、BC的中点.C图2（2） 如图 2，若A 、O 、 C 三点在同一直线上，且 ∠ABO 2 ，证明 △PMN ∽△BAO ，AD并计算 AD 的值（用含 的式子表示） ；BC（3） 在图 2中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值 .1直角三角形斜边中线 3、（2011 海淀一模， 25）在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90°， tan ∠BAC= .2 点D 在边 AC 上（不与 A ，C 重合），连结 BD ，F 为 BD 中点.(1) 如图 1，若 A 、O 、 C 三点在同一直线上，且∠ABO 60o ，则 △PMN 的形状是，此时AD BC页（2）若将图 1 中的△ ADE绕点A旋转，使得D、E、B 三点共线，点 F 仍为BD中点，如图 2 所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点 F 始终为BD 中点，求线段CF长度的最大值．图 1 图 2 备图25．解：（1）k=1；2分2）如图2，过点C 作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为1由题意，tan ∠BAC=2BCACDEAED、E、B 三点共线，∴ AE⊥ DB.∠BQC=∠AQD，∠ ACB=90°∠QBC=∠EAQ.∠ECA+∠ ACG=90°，∠ BCG∠+ ACG=90°，∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE.BC GB 1. ∴ GB=DE.AC AE 2F 是BD中点，∴ F 是EG中点.1在Rt△ECG 中，CF EG, ∴ BE DE EG 2CF .213）情况1：如图，当AD= AC 时，取AB的中点M，连结MF和CM，31∵∠ ACB=90°，tan ∠BAC= ，且BC= 6,2 ∴AC=12，AB= 6 5 . ∵M为AB中点，∴ CM=3 5 ,1∵AD= AC ，3 ∴AD=4. ∵M为AB中点，F为BD中点，1 ∴FM= AD = 2.2∴当且仅当 M 、 F 、 C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时 CF =CM +FM = 2 3 5 .6 分2 情况 2：如图，当 AD = AC 时，取 AB 的中点 M ， 3连结 MF 和 CM ，类似于情况 1，可知 CF 的最大值为 4 3 5 . ⋯7 分 综合情况 1 与情况 2，可知当点 D 在靠近点 C 的三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为 4 3 5 .⋯⋯⋯8 分#直角三角形斜边中线 +四点共圆（【类】西城中考总复习 P61-17 ）*4 、已知：在△ ABC 中， ∠ABC =90 , 点 E 在直线 AB 上, ED 与直线 AC 垂直, 垂足为 D ，且点 M 为 EC 中点, 连接 BM , DM .（1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及∠ BMD 与∠ BCD 所满足的数量关系 , 并直接写出你得到的结论；（2）如图 2，若点 E 在 BA 延长线上，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明 ;（ 3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM#倍长过中点的线段 5、（2008 年北京， 25）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段DF 的中点，连结 PG ，PC ．若 ABC BEF 60o ，探究 PG 与PC 的位置关系及 PG的PC值．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．PG PC 2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及的值； BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形小聪同学的思路是：3)若图 1 中ABC BEF 2 (0o90o) ，将菱形BEFG 绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG的值(用含PC解：( 1)线段PG 与PC 的位置关系是；PGPCPG25．解：(1) 线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； 3 ．PC(2) 猜想：(1) 中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP，交AD于点H，连结CH、CG．∵P 是线段DF的中点，∴FP＝DP．由题意可知AD∥ FG．的式子表示)∴∠ GFP＝∠HDP．又∵∠ GPF＝∠ HPD，∴△≌∴GP＝HP，GF＝HD．∵四边形ABCD是菱形，∴ CD＝CB，∠ HDC＝∠ ABC＝60°．由∠ ABC＝∠ BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得∠ GBC＝60°．∴∠ HDC＝∠ GBC．∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝GB．∴HD＝GB．∴△ HDC≌△ GBC．∴ CH＝CG，∠ DCH＝∠ BCG．∴∠ DCH＋∠ HCB＝∠ BCG＋∠ HCB＝120°．即∠HCG＝120°．∵ CH＝CG，PH＝PG，∴ PG⊥ PC，∠ GCP＝∠HCP＝60°PG 3 ．PCPG(3) tan(90PC)．#共端点的等线段，旋转第25 题答图6、(2010 西城一模，24)如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB 2.1）求证：AD=AE；2）如图2，点P 在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：DF EF 2AF ；3）请你在图 3 中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF⊥ DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.AE∴tanB 2BE∴ AE 2BE ． ······ ∵E 为 BC 的中点， ∴ BC 2BE ．∴ AE=B .C∵ ABCD 是平行四边形， ∴ AD=B .C∴ AE=A .D ········2 ）在 DP 上截取 DH =EF （如图 8）．∵四边形 ABCD 是平行四边形， AE ⊥ BC ， ∴∠ EAD=90°．∵ EF ⊥ PD ，∠ 1＝∠ 2， ∴∠ ADH =∠AEF ． ∵ AD =AE ，∴△ ADH ≌△ AEF ． ········ 4分 ∴∠ HAD =∠FAE ，AH =AF ． ∴∠ FAH ==90°．在 Rt △FAH 中， AH =AF ，∴ FH 2AF ． ∴ FH FD HD FD EF 2AF ． 即 DF3）按题目要求所画图形见图 9， 线段 DF 、EF 、AF 之间的数量关系为： DF EF 2AF ．利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线 7、（2006 年北京， 25）我们给出如下定义： 若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。