高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬一、考点突破知识点课标要求题型说明空间向量巧解平行、垂直关系1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。
2. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。
选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。
二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。
【随堂练习】已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（ ）A. （1，1，1）B. C. 111(,,) 333D. (333- 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0·0·0AB y z BC x y AC x z ⎧=-+=⎪⎪=-+=⎨⎪=-+=⎪⎩n n n u u u r u u u r u u ur ，∴x ＝y ＝z ， 又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。
（3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组·0·0.=⎧⎨=⎩n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系【核心突破】①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。
②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题。
通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
例题1（浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。
证明：PQ∥平面BCD。
思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。
答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。
由题意知，A（02，2），B（020），D（02，0）。
设点C的坐标为（x0，y0，0）。
因为3AQ QC=u u u r u u u r，所以Q003231,,4442x y⎛⎫+⎪⎪⎝⎭。
因为M为AD的中点，故M（02，1），又P为BM的中点，故P10,0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以PQuuu r ＝00323,,044x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭。
又平面BCD 的一个法向量为a ＝（0，0，1），故PQ uuu r ·a ＝0。
又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD 。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。
例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点。
求证：AB 1⊥平面A 1BD 。
思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。
答案：证明：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC 。
∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1，取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA u u ur 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则B （1，0，0），D （－1，1，0），A 1（0，23），A （0，0，3，B 1（1，2，0）。
1BA u u u r ＝（－1，23），BD u u u r＝（－2，1，0）。
1u u u r AB =（1，2，3-） 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），因为n ⊥1BA u u u r ，n ⊥BD u u u r ，故10230200BA x y z x y BD ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n u u u ru u u r， 令x ＝1，则y ＝2，z 3n ＝（1，23A 1BD 的一个法向量，而1AB u u u r ＝（1，23），所以1AB u u u r ＝n ，所以1AB u u r∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD 。
技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。
例题3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。
思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。
答案：证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （2，0，0），A 1（2，0，1），C （0，2，0），C 1（0，2，1），E （0，0，12）， 则1AA u u u r ＝（0，0，1），AC u u u r ＝（－2，2，0），1AC u u u u r ＝（－2，2，1），AE u u u r ＝（－2，0，12）。
设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ），则11·0·0AA AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩1n n u u u r u u u r⇒0220z x y =⎧⎨-+=⎩ 令x ＝1，得y ＝1，∴n 1＝（1，1，0）。
设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝（x 0，y 0，z 0），则21·0·0AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2n n u u u u r u u u r ⇒000002201202x y z x z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令z 0＝4，得x 0＝1，y 0＝－1。
∴n 2＝（1，－1，4）。
∵n 1·n 2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C 。
技巧点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。
向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系。
恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。
利用向量解决立体几何中的探索性问题【满分训练】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，棱BB 1上是否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1。
思路分析：设出点M 的坐标，利用线面垂直列方程组求解。
答案：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，则E （2，1，0），F （1，2，0），D 1（0，0，2），B 1（2，2，2）。
设M （2，2，m ），则EF u u u r ＝（－1，1，0），1B E u u u r ＝（0，－1，－2），1D M u u u u u r ＝（2，2，m －2）。
∵D 1M ⊥平面EFB 1， ∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，∴1D M u u u u u r ·EF u u u r＝0且1D M u u u u u r ·1B E u u u r ＝0，于是22022(2)0m -+=⎧⎨---=⎩，∴m ＝1。
故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1。
技巧点拨：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再进一步论证。
另一种是利用空间向量，先设出假设存在的点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。
（答题时间：40分钟）1. （东营高二检测）已知平面α的法向量为a ＝（1，2，－2），平面β的法向量为b ＝（－2，－4，k ），若α⊥β，则k ＝（ ）A. 4B. －4C. 5D. －52. （青岛高二检测）若AB u u u r ＝λCD uuu r ＋μCE u u u r ，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 在平面内D. 平行或在平面内3. 已知AB u u u r ＝（1，5，－2），BC uuu r ＝（3，1，z ），若AB u u u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝（x －1，y ，－3），且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为（ ）A.337，－157，4 B. 407，－157，4 C. 407，－2，4 D. 4，407，－154. （汕头模拟）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1。
（1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； （2）若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1。