第五章 测量误差的基本知识
本章重点： 1、偶然误差的特点 2、评定精度的指标 3、中误差的计算 4、误差传播定律
本章难点： 1、中误差的计算 2、误差传播定律
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一、概 述
1、误差的概念
从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在
误差，比如： 1)对同一量多次观测，其观测值不相同。 2)观测值不等于理论值：
本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差 的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评 定其精度高低的方法。
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三、评定精度的标准
◆测量成果中都不可避免地 含有误差，在测量工作中， 是使用“精度”来判断观测 成果质量好坏的。所谓精度， 就是指误差分布的密集或离 散程度。误差分布密集，误 差就小，精度就高；反之， 误差分布离散，误差就大， 精度就低。
晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中 带有误差。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来 误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误
不可避免，无法消除，有互补性
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◆粗差与多余观测
1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误， 并非误差。
2、多余观测：观测某未知量时进行的多于 必要观测数外的观测。 多余观测为什么不多余？
（为什么要进行多余观测）
目的：发现错误，剔除粗差；
提高观测质量，进行精度评定。
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二、偶然误差的统计特性
正态分布曲线
e f ()
1
2
2
2
2
偶然误差具 有正态分布 的特性
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+2411
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第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶 然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然 误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间 内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映 了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即 在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于 零。
在某测区，等精度观测了217个三角形的 内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然 误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差 i 进行分析。
分析结果表明：当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次
误差的区间
０“～３＂ ３“～６＂ ６“～９＂ ９“～１２＂
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
测量误差(△) =真值（X）- 观测值（L）
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2、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身 构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
所以，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清
１２“～１ １５５“＂～１ １８８“＂～２ ２１１“＂～２ ２４４“＂～２
７ 总＂ 和
个数 k
30 21 15 14 12 8 5 2 1 108
为正值
k
频率
n
k n d
0. 138
0.046
0.097
0.032
0.069
0.023
0.065
0.022
0.055
0.018
0.039
0.012
0.023
计算改正、观测方法、仪器检校
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2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这 种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经 纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实 不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条 件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的 规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加， 偶然误差的规律性表现得更加明显。
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再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行 而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为
si/ ，它与水准仪至水准尺之间的距离S
成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量 结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号 有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少 其影响。
0.008
0.009
0.003
0.005
0.002
0.5
0.166
个数 k
29 20 18 16 10 8 6 2 0 109
为负值
k
频率
n
0.134
k
n d
0.045
0.092
0.031
0.083
0.028
0.074
0.025
0.046
0.015
0.037
0.012
0.028
0.009
0.009
0.003
0.000
0.000
0.503
0.168
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k
◆在一定观测条件下，偶然误差 n d 的绝对值不会超过一定的限值
◆绝对值较小的误差比绝 对值较大的误差出现的概 率大；
◆绝对值相等的正误 差和负误差出现的概 率相同；
◆偶然误差的数学 期望为零，即
E () 0,
lim [ ] 0 n n
1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢 尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多， 所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
差。
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通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想 和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
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3、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统 误差和偶然误差。