XY 0
X ,Y 相互独立
X , Y 不相关
cov( X ,Y ) 0
E(XY ) EX EY D(X Y) DX DY
X , Y 不相关
当 XY 1 时，X 与 Y 之间以概率1存在线性关系； XY 越接近于0时, X 与 Y 之间的线性关系越弱;
当 XY 0 时，X 与 Y 之间不存在线性关系(不相关).
EY EX 7， EY 2 EX 2 5 .
6
3
cov(X ,Y ) E(XY ) EX EY 4 49 1 ， 3 36 36
DY DX EX 2 (EX )2 5 (7)2 11， 3 6 36
D(X Y ) DX DY 2cov(X ,Y ) 5， 9

0 08
6
EX 2 x2 f (x, y)dxdy 2 2 x2 (x y)dxdy 5，

0 08
3

2 2 xy
4
E(XY)
xyf (x, y)dxdy
(x y)dxdy .

0 08
3
由x,y 在f (x,y)的表达式中的对称性, 可知
时, 等式成立.
协方差的数值虽然在一定程度上反映了X和Y 相互间的联系, 但其值还受X和Y本身取值大小的 影响, 比如X和Y同时增大到k倍, 即X1= kX, Y1= kY, 这时X1和Y1间的相互联系与X和Y间的相互联系是 相同的, 然而协方差却增大到了k2倍, 即
cov(X1 ,Y1) k 2 cov(X,Y ).
33 8
88
E(XY )
xi yi pij
j 1 i 1
(1)(1) 1 (1)1 1 1 (1) 1 11 1 0
8
8
8
8
可得 E(XY ) EX EY 因此 XY 0
故X, Y是不相关的. 又
P{X 0,Y 0} 0 P{X 0}P{Y 0} 2 2 88

cov(X ,Y ) DX DY
XY .
由此知, 相关系数确实克服了协方差的不足.
相关系数的意义和性质
相关系数是表征随机变量X与Y之间线性关系紧密 程度的量．
| XY | 1
| XY | 1
即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为
PY E(Y) t0[X E(X )] 1
例1 设随机变量(X,Y)的分布律为
X Y
－1 0 1
－1
01
1/8
1/8 1/8
1/8
0 1/8
1/8
1/8 1/8
试验证和X是Y不相关, 但X和Y不是相互独立的. 证 先求出X和Y的边缘分布律如下：
X －1 0 1 pk 3/8 2/8 3/8
Y －1 0 1 pk 3/8 2/8 3/8
EX EY (1) 3 0 2 1 3 0
XY

cov(X ,Y ) DX DY
1. 11
例3 设 ~U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ),
是给定的常数，求 XY
XY
cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为X ,Y 的相关系数
若 XY 0, 称 X ,Y 不相关.
无量纲 的量
相关系数就是标准化随机变量间的协方差, 并且有
(kX )(kY )
cov(kX , kY ) D(kX ) D(kY )
k 2 cov( X ,Y ) k 2 DX k 2 DY
故X, Y不独立.
例2 设随机变量(X,Y)的概率密度函数
f
(x,
y)

1 8
(x

y),
0≤x≤2, 0≤y≤2,
0,
其它.
求 cov(X,Y) 和 D(X Y )，XY .
.
解 由期望的计算公式可得
EX


2
xf (x, y)dxdy .
2 x(x y)dxdy 7，
X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系 .
协方差和相关系数的计算
若 ( X ,Y ) 为离散型，

cov(X ,Y)
[xi E(X )][ y j E(Y )]pij
i1 j1
若 ( X ,Y ) 为连续型，

cov(X ,Y) [x E(X )][y E(Y)] f (x, y)dxdy
第三节 协方差及相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,
相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数
去反映这种联系.
数 E(X EX )(Y EY )
反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
协方差的定义
定义 称 E(X EX )(Y EY ) 为 X ,Y 的协方差.
记为
cov(X ,Y) E(X EX )(Y EY)
称
DX cov(X ,Y )

cov(
X
,Y
)
DY

为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵为半正定矩阵
协方差的性质 cov(X ,Y) cov(Y, X ) E(XY ) EXEY cov(aX ,bY ) ab cov( X ,Y ) a, b 为常数;
cov( X Y,Z) cov( X ,Z) cov(Y,Z) cov(X , X ) DX
| cov(X ,Y ) |2 DX DY — Cauchy-Schwarz不等式
当DX > 0, t0[X E(X )] 1
为了克服协方差的这一缺点, 将随机变量标准化,取
X * X EX ， Y * Y EY ，
DX
DY
则
cov( X
,Y )

E

(X
E( X ))(Y E(Y ) D(X ) D(Y )


cov( X ,Y ) D(X ) D(Y )
相关系数的定义
若D X > 0, DY > 0 ,称