初中数学八年级下因式分解第四章 因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。
例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m--=--例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为)2)(13(y x x +--的是（ ） A ．yx xy x2632--+ B ．yx xy x2632-+- C ．xyxy x 6322+++ D ．xyxy x 6322--+二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑： ①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
例01．在下面因式分解中，正确的是（ ） A ．)5(522x xy y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+-- C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a x D ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab例02．把yx y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。
例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x 例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a-+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a-的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式： （1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+±注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
2、利用立方和立方差公式因式分解：))((2233b ab a b a b a +±=±典型例题：例1 用平方差公式分解因式： （1）22)(9y x x-+-； （2）22331n m-说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5； （2）)()(44n m b n m a +-+.说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例 3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）962+-a a ； （2）982+-x x； （3）91242--x x；（4）223612y xxy ++-.说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x； ⑵ 2294942y xxy -- ⑶mnn m 4422+--说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5 分解因式： ⑴ 22363ay axy ax++. ⑵ 22222)(624b a ba +-说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止. 例6 分解因式： ⑶ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---； ⑵4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m. ⑷63244914b b a a +-说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. 例7 若25)4(22+++x a x是完全平方式，求a 的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a++的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy yx y x +-的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
类型三、分组分解法1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。
2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。
3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：①组内提公因式或运用公式； ②组间提公因式或运用公式。
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一，且灵活多变.例1 选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）（A ）mp np n m +++)22(（B ）)2()2(mp n np m +++ （C ）)()22(np mp n m +++（D ）np mp n m +++)22(说明：本组题目用来判断分组是否适当. 例2 因式分解： （1）yb x b y ax a 2222+++； （2）nxn mxmx --+2说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号； 例3 分解因式： （1）22441y xy x-+-； （2）2222b ab a x-+-； ⑶ba b a 2422---说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。
例4 分解因式： ⑴ 315523+--x x x⑵ xxy y x21372-+-说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。
例5 把下列各式分解因式： （1）222z yz y xz xy -+--；（2）122222+----a bc c b a；（3）1424422+--++y x y xy x.说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.例6 分解因式：（1）6)2)(1(---x x x ； （2）)()1(222b a x xab +++说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。
即“先破后立，不破不立”。
类型四、十字相乘法题型一：pqx q p 2+++）（x事实上：).)(())()()()(22p x q x p x q p x x pq qx px x pq x q p x ++=+++=+++=+++（题型二：c2++bx ax大家知道：2112212212211)())((c c x c a c a xa a c x a c x a +++=++反过来，就得到：))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a xa a ++=+++例1 分解因式： ⑴ 652+-a a； ⑵ 1032-+m m. ⑶22-+x x ； ⑷ 1522--x x.说明：本题属于pqx q p x +++)(2型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.（5）25122--x x（6）22865y xy x-+ （7）22224954y y x y x --（8）6732-+x x （9）3832-+x x （10）2532+-x x（11）422416654y y x x+- （12）例2 分解因式：（1）4)(5)(2++++b a b a ； （2）22127q pq p +-. 例3 分解因式：⑴ q p q pq p 36522++++； ⑵ c c bc b a b a --+++-222424.。