七年级数学思维探究杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算． 运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决 例1（1）已知()()21,2,3,1n aa n n ==+，记()1121b a =-，()()212211b a a =--，…，()()()122111n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的代数式表示）（2）若a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b+--的值是____．试一试 对于（2），运用相关概念的特征解题．例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =，且a b c d >>>，那么a b c d +++等于（ ）．A ．0B ．10C ．2D ．12试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3 计算（1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）111112123123100+++++++++++； （3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试一试 对于（1），设原式S =，将各括号反序相加；对于（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手， 例4 在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求2341111122222n+++++的值；（2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形．试一试 求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值． 分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手． 因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1．又()()()()()123456789101112131419992000200120021-++--++--++--+++--+=∵， ∴所求非负代数和的最小值为1． 类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：。

提出问题比解决问题更重要”．请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题． 分析与解（1）()11111n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题：①111244620122014+++⨯⨯⨯； ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；图①图②③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++． 数学冲浪 知识技能广场1．如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()135721n +++++-=________．（用n 表示，n 是正整数）．2．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，这样得到的20个数的积为_________．3．计算：（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_________． （2）23181920222222-----+=_______． 4．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++=，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：1239899100S =++++++ ① 1009998321S =++++++ ②①+②有()21100100S =+⨯，5050S =． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，()35721168n +++++=，则n =_______． 5．设0a <，在代数式a ，a -，2009a ，2010a ，a -，2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2aa a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.57．为了求23200812222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2342009222222S =+++++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．2n -1A ．200951- B ．201051-C ．2009514-D ．2010514-8．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：()()()232111111111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数 9．观察图形，解答问题：x ． 10．观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）；①-1-121②-4-55-3③-51717-2④y-8-95⑤x3-31（3）求1234100a a a a a +++++的值．思维方法天地 11．计算：（1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． （2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________． 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a b +，a 的形式，又可分别表示为0，ab ，b 的形式，则20042001a b +=_______． 13．已知31x x =+，则()2005264489x x ++=________．14．已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <，则代数式a b c ab c++的值是______．15．11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ） A ．118 B ．136 C ．133 D ．16616．如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=，那么m n p q +++等于（ ）A ． 10B ．21C ．24D ．26E ．28 17．如果3121231t tt t t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．1±D ．不确定18．观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=； ……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++=19．观察下面的等式： 224⨯=，224+=；313422⨯=，313422+=； 414533⨯=，414533+=； 515644⨯=，515644+=．（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 20．同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯，()()()()()222123101112123101212323123111223++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯， ()()()22221234101112123____+++=+⨯++⨯++⨯+()()101212323______1234________=+⨯++⨯++⨯+=++++； ……（2）归纳结论：()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦ ()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯ =（________）+（___________） =________+_________1_______6=； （3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是________． 应用探究乐园21．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案． 例如，求1234n +++++的值，其中n 是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n 的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质来求1234n +++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有()1n +个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +，即()112342n n n ++++++=．（1）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求()13572?1n +++++的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明） （2）试设计另外一种图形，求()135721n +++++-的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）22．在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法的种数． 3．有理数的运算 问题解决例1 （1）21n n ++ （2）20 例2 D()()5115abcd =⨯⨯-⨯-，5a =，1b =，1c =-，5d =-．例3 （1）885 设原式S =，又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得2123591770S =++++=，所以885S =；（2）200101()()1121121123112n n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++++⎝⎭； （3）2 原式34247616261022272739A A A ⎛⎫=+-÷=÷=⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-． 例4 （1）原式112n =-；（2）略．数学冲浪1．2n 2．21 3．（1）154000；（2）61222n n n +-=4．12 由()3211682n n ++=，得()21214n n +=⨯ 5．B 6．A 470100310070=+⨯+ 7．D8．A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． (1)234n n43219．（1）略（2）图④：()()589360⨯-⨯-=，()()58912+-+-=-，()3601230y =÷-=-； 图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（1）511119112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭；（2）()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭；（3）原式100201= 11．（1）1.98；（2）9110；（3）1.0412．2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba 与b 中有一个为1，可推得1a =-，1b =．13．1 14．1 15．B 16．E ()()42211=⨯-⨯⨯-17．A 18．C 19．（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如1313⨯≠+．（2）将第一组等式变形为2241⨯=，2241+=，得出如下猜想：“若n 是正整数，则()()1111n n n n n n++⨯+=++”． 证明：左边()()11111n n n n n +⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（1）()134+⨯；434+⨯；01122334⨯+⨯+⨯+⨯；（2）123n ++++；()01123231n n ⨯+⨯++⨯++-；()112n n +；()()1113n n n +-；()()121n n n ++； （3）338350．21．原式2n =，构造平行四边形或正方形． 22．（1）12345678945++++++++=，无论怎样填“+”、“-”号，代数好一定是奇数，又1234567897+--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数． （2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得35x =，10y =，因910<，123410+++=，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4419++=种．。