一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值． 【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3．（•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．（•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．（•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。

10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________． 11．已知一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _．三、解答题13．当k 为何值时，关于x 的方程x 2-(2k-1)x ＝-k 2+2k+3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根?14. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程(a 2+b 2)x 2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．15．（•大庆）已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求+的值．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x +4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根． 2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->． 3.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0，∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D . 5.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选B ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=， 因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题 7．【答案】k≥﹣6； 【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣， 当k≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程， 根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6．8.【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1， ∴+==﹣2．故答案是：﹣2．9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=•=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】 x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】 25或36；【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3), 解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】解：22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴ 1a =，(21)b k =--，223c k k =--． ∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△．(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4130k +>．∴ 134k >-． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4130k +=，∴ 134k =-．(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4130k +<，∴ 134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k ＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根．14.【答案与解析】解： 令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△，∵ 方程有两等根，∴ △＝0，∴ 222c a b =+， ∴ △ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+= = = ﹣3．。