二次含参问题经典集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-不等式恒成立、存在性问题（一元二次不等式）一、知识、方法回顾（一）一元二次不等式1．定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为_____的不等式叫一元二次不等式．2．解法：一般地，当0a>时（二）解分式不等式的常见方法：法一：符号法则其它情况类比分析，结论如下：()0__________()f x g x <⇔；()0____________()f xg x ≥⇔；()0_________()f x g x ≤⇔． 法二：化分式不等式为整式不等式分式不等式()0()f xg x >，由符号法则可知，()()f x g x 、同号，从而()()0f x g x ⋅>，其它情况类比分析，结论如下：()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>； ()0________()f x g x <⇔；()()0()0___________()f x g x f x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨⎩；__________()0__________()f x g x ⎧≤⇔⎨⎩． （三）典型例题 例1、解下列不等式：（1）227210x x ≤-+<； （2）2||60x x +-≤； （3）2317x x -<+； （4）101x x<-< 练习1.关于x 的不等式02<+-c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞βα ，其中0<<βα，则不等式02>++a bx cx 解集为 ．2.若不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23-，则a b +的值为_____________．3.若不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的范围为__________．4.设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.二、含参不等式解法（一元二次不等式） 1.二次项系数为常数例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 2.二次项系数含参数例2解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax 练习：1.解关于x 的不等式（1）033)1(22>++-ax x a （2）2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭；（3）2(21)20()ax a x a -++>∈R ； （4）(2)421a x x +-≤-（其中0a >）.2. 设1)1()(2++-=x a ax x f （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若对任意的]1,1[-∈a ，不等式()0f x >恒成立，求x 的取值范围.三、不等式的恒成立问题例1.已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。

小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A ；（2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。

练习1.已知()22x x af x x++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值范围。

2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

练习1. 已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

2. 已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 的取值范围。

3、数形结合法（1）若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；（2）若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方。

例3. 设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=134)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.练习1. 当)21,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 的取值范围． 4、变换主元法例 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。

练习1. 对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

2.设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围。

练习题1.当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围__________2.当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围是3. 若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围是4．设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

5. 不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围。

6. R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围。

若对于任意1a ≤，7.已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+（1a ≥），2()1x g x x =+．（1）求函数()y f x =的最小值()m a ； （2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围． 四、不等式的存在性问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．例1.若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．2.已知函数()f x x m =-，函数()()m m x f x x g 72-+⋅=． （1）若1=m ，求不等式()0≥x g 的解集；（2）若对任意(]4,1∞-∈x ,均存在[)23,x ∈+∞,使得()()21x g x f >成立，求实数m 的取值范围．练习1.若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0,)+∞ D ．(1,)-+∞ 2. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围。

五、二次方程根的分布1 .因为二次函数，二次方程，二次不等式之间有着密切的联系，它们之间相互转化，二次方程的根转化为方程中的系数满足不等式，而二次不等式的问题又可转化为二次函数问题；2 .一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。

根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。

3 方法指南：设实系数的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为ac b x x 4,,221-=∆，设)0()(2≠++=a c bx ax x f 。

1、方程有两个正根⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆⇔0002121x x x x2、方程有两个负根⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆⇔0002121x x x x3、方程有两个符号相反的根⎩⎨⎧<>∆⇔0021x x4、021><<a k x x 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>∆⇔0)(2-0k f k a b 5、021><<a x x k 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>∆⇔0)(2-0k f k a b 6、()0,2121>∈a k k x x 且，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<≥∆⇔0)(0)(2-k 02121k f k f k a b7、21,x x 有且仅有一根在()21,k k 内，且0>a ⎪⎩⎪⎨⎧<-<+=⎪⎩⎪⎨⎧+<-<=⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆<⇔221221112121220)(220)(200)()(k a b k k k f k k a b k k f k a b k k f k f 或或或1.实数m 2 .已知方程2x 围3.已知二次方程03073)4(222=++---a a x a x 的两个实数根是21,x x ，且满足2112-x x <<<，求实数a 的取值范围。

4. 实数k 为何值时，方程022=++kx x 的两个根一个在（-1,1）内，另一个在（3,4）内。

5. 设集合(){}(){}∅≠⋂≤≤+===+-+=B A ,20,1,B ,02,A 2x x y y x y mx x y x ，求实数m 的取值范围。

6.（广东07）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的范围。