q
Qy Jx
Sx
2、开剖面弯心的计算
现取任意点 A 为力矩中心，则剪 流对该点的力矩应等于其合力对同 一点的力矩，即
Байду номын сангаас
Q y x qds
s
式中，ρ 为微段ds 的剪流合力 ρds 到 力矩中心 A 的垂直距离， Qy x 绕 A
s
以逆时针方向为正， qds 绕 A 以顺 时针方向为正。 将剪流 q 计算公式代入，可得弯心坐标 x 为 同理，可得弯心坐标 y 为
2 3(b2 b12 ) x (b2 b1 ) h 6(b1 b2 )
（1）工字型剖面上、下对成，显 解： 然 x 轴为形心主惯轴，弯心就在 x 轴上。
th 2 Jx [h 6(b1 b2 )] 12
（2）剖面静矩Sx
如图所示。
（3）选取 A 点作为力矩中心，则
1 x Jx 1 S ds s x Jx th 2 2 2 (b1 b2 ) 4
所示的情形。
开剖面薄壁梁的承受扭矩能力 对于壁很薄的薄壁结构，由于壁的厚度与其它尺寸相差很大，实际计算时 忽略开剖面部分的承扭能力，对结构的承扭能力影响不大。
2、开剖面弯心的计算
根据以上的讨论可知，只需找到开剖面剪流的合力作用点，该点就是开剖 面弯心的位置。因为开剖面的剪流是弯曲剪流，只要开剖面的力矩平衡方程满 足，则剪力一定作用在弯心上。这也就是说，若剪力不作用在弯心上，那么， 开剖面的力矩平衡方程就无法满足。因此，可以利用力矩平衡方程求得开剖面 弯心的位置。 如图所示的开剖面。为简单起见， 这里假定 xoy 轴为剖面形心主惯轴。 Qy 将总剪力Q 分解为 和 Q 。 x 先考 Qy 虑只有 作用的情形。 此时，剖面上的剪流等于
qds q r ds
s i s
π 100 π 100 28.56 ) 4 4 712513 .2138N mm 2 100 (16.8
x
1 qds 142.5 mm Qy s
弯心在O点右侧 x 轴上，距O点 142.5 mm。
例6-10 证明：壁厚均为 t 的不对称工字梁的弯心
若 x 0 ， y 0 ，则弯心在力矩中心的右上方。
1 x S x ds s Jx 1 y S y ds Jy s
就是开剖面的弯心计算公式。从公式可以看出，开剖面弯心的位置只与剖面 的几何形状有关，而与载荷及材料性质无关。
2、开剖面弯心的计算
利用开剖面弯心的定义，即弯心是剖面上剪流的合力作用点，对于一些简 单形状的或规则的剖面，可以用一些简单的方法来决定弯心的位置。
作用在与剪流的合力作用点相对应的位置，我们把这个剪流的合
力作用点称为开剖面的“弯心”。
显然，对开剖面来说，剪力只允许通过弯心，因为任何不通 过弯心的剪力，都将导致巨大而使结构无法承受的扭转变形。 如图所示的薄壁梁结构，实际上结构在这种载荷作用下变成
了几何可变系统。
(a) 开剖面；
(b) A 是弯心；
假定沿壁厚度剪应力分布是均匀的，在扭矩作用下，剖面上的剪流为沿周 边的等值剪流 q ，只要剖面周边所围面积的两倍Ω为一定值，则剪流便可以由 Bredt公式求得。如果将剖面的周边完全挤扁成图(c)的形状， Ω值接近于零， 此时，剪流 q 将接近于无穷大。 这说明，在剪应力沿壁厚均匀分布的假设下，开剖面是不能承受扭矩的。
飞行器结构力学基础
——电子教学教案
西北工业大学航空学院 航空结构工程系
第六章
薄壁工程梁理论
Engineering Beam Theory for Thin-walled Structure 第三讲 6.5 开剖面弯心的计算
6.5 开剖面弯心的计算
1、开剖面薄壁梁的承扭特性，剖面弯心
考虑图示一单闭周边的结构。
（1）当剖面有一对称轴（这里指剪流分布或静矩的对称轴）时，弯心必然在 此对称轴上。
同理，若剖面有两个对称轴（如工字形剖面），则弯心必然在此二轴的 交点上。 （2）对于图(a)所示角形剖面，显然剪 流合力作用点在角点上，所以该 点就是弯心。
2、开剖面弯心的计算
（3）对于图 (b)所示二集中面积的开 剖面（壁不承受正应力），可以证明 剪流的合力作用线与弦线平行，其位 置为如图所示的 x h （Ω 是周边 与弦线所围面积的两倍），因此弯心 必在此作用线上。 （4）利用(3)的结论，很容易求得图 (c)所示剖面的弯心位置，因为我们 可以分别决定1-2及2-3部分的合力作 用线，而这两条作用线的交点必为整 个剖面剪流的合力作用点，这个点就 是剖面的弯心。
例6-8 求图示开剖面结构的弯心位置。设壁厚均为t，其他几何尺寸如图所示。 （1）显然 x 轴为该剖面的对称轴，所 解： 以弯心就在 x 轴上，因此，只需求弯 心的 x 向坐标即可。 1 1 J x th 2 b h 2 6 （2）剖面静矩Sx 如图（b）所示。
（3）选取4点作为力矩中心，则
1 tbh 1 2 2 s S x ds 2 2 b h 4 tb h
tb 2 h 2 1 3b 2 4 x S x ds s 1 2 h 6b h Jx th b 2 6
弯心在4点右侧 x 轴上。
例6-9 求图示半圆形开剖面结构的剪流及弯心位置。设壁厚不受正应力。 r 100 mm ，5个集中面积均为 A 400mm2 。 Qy 5000N ， （1）显然 x 轴为该剖面的对称轴，亦为 解： 形心主惯轴，且弯心就在 x 轴上，因此， 只需求弯心的 x 向坐标即可。
2 3(b2 b12 ) h 6(b1 b2 )
A
弯心在 A 点左侧。
(c) B 不是弯心
开剖面的弯心在结构的受力过程中具有重要意义。如果将各 剖面的弯心以直线相连，所形成的沿纵向的连线称为结构的“弯 轴”，当外力作用线通过弯轴时，结构只发生弯曲变形，而无扭 转变形。
值得说明的是，开剖面不能受扭这一结论对于壁很薄的薄壁结构比较符合 实际。对于一些壁比较厚或材料弹性模量比较大的材料构成的结构，其本身 具有较大的抗扭能力，这时我们可以放弃剪应力沿壁厚度均匀分布的假设， 而认为剪应力沿壁厚度的分布呈线性分布，中性面上的剪应力等于零，如图
因此，开剖面薄壁结构的剪流只可能是弯曲剪流。 我们已经知道，开剖面弯曲剪流的分布的规律只取决于剖面的
几何性质Sx及Sy。对于剖面形状一定的开剖面，其剪流的分布是
一定的，所以剪流的合力的作用点也必定为一固定点。 在推导开剖面剪流计算公式时，我们没有明确剪力Qx 和Qy 的 作用点，但明确了剪力与剪流的合力应相平衡。因而，剪力必定
J x 2[ f r 2 f 0.7r ] 1192104 mm4
2
（2）剖面静矩Sx。
只需求出1点和2点 的静矩，便可得到 全剖面的静矩，如 图(b)所示。
（3）剖面剪流按下式计算
q
Qy Jx
S x 0.00042 Sx
如图（c）所示。 （4）为求弯心位置，选取O点作为力矩中心，则