直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。

例10.35已知两点551,,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列曲线方程① 4210x y +-= ② 223x y +=③ 2212x y += ④ 2212x y -= 在曲线上存在点P 满足PM PN =的所有曲线方程是 。

（写出所以正确的编号） 分析 所选曲线上存在点P 满足PM PN =，等价于曲线与线段MN 的垂直平分线有公共点。

解析 由551,,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得线段MN 的中点为3,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭又55144412MNk --==-- ，故线段MN 的垂直平分线为3:2,2l y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即:230l x y ++= ，显然①中直线与直线l 平行， 不符合题意， 对于②，因为圆心()0,0到直线l的距离d ==<，所以直线l 与圆223x y +=相交，符合题意。

对于③，由2223012x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消去y 得2924160x x ++=22449160∆=-⨯⨯= ，故直线l 与椭圆2212x y +=相切，符合题意。

对于④，由2223012x y x y ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，消去y 得2724200x x ++=2244720160∆=-⨯⨯=>，故直线l 与双曲线2212x y -=相交，符合题意。

综上所述，应填②③④变式1 对于抛物线2:4C y x =，我们称满足2004y x <的点()00,M x y 在抛物线的内部，若点()00,M x y 在抛物线的内部，则直线()00:2l y y x x =+与抛物线C 的位置关系是变式2 设抛物线24y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是例10.36 如图10-26所示，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点()()0,0C c c >任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条直线垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.（1） 若2OA OB = ，求c 的值（2） 若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。

分析 2OA OB =12122x x y y ⇒+=，通过联立直线与抛物线方程消去一个变量得一元二次方程，再利用韦达定理；当AQ x xA k y ='= ，即可证得QA 为抛物线的切线。

解析 （1）设过点C 的直线为()()1122,,y ,y kx c A x B x y =+则2y kx c y x=+⎧⎨=⎩ ，得20x kx c --= ，由韦达定理可知1212x x k x x c +=⎧⎨=-⎩ 2OA OB =12122x x y y ⇒+=以为,A B 两点在抛物线上，所以221122,y x y x == ，则221212y y x x =故22121212122x x y y x x x x +=+=，即220c c --= 得2c = 或1c =-（舍）（2）12,2x x Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，即,2k Q c ⎛⎫- ⎪⎝⎭112,2x x y x y x =''==()2112111211121211222AQx x x x x y c x x x k x y k x x x x x x =-+-'=====+---故QA 为此抛物线的切线评注 过抛物线()220x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭任作一直线l 与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点的切线的交点在准线2p y =-上，或过抛物线()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭任作一直线l 与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点的切线的交点在准线2px =-上。

如图10-27所示，过抛物线()220x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭任作一直线l 与抛物线交于,A B 两点，可得知如下性质：（1） 过,A B 两点的切线的交点的轨迹为准线 （2） 两条切线QA QB ⊥ （3） FQ AB ⊥同理，对于抛物线()220y px p =>上述结论仍成立证：（1）易知直线AB 的斜率存在，故设过焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线方程为2p y kx =+ ， 联立直线AB 的方程与抛物线22x py =发方程，得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消y 得2220x kx p --=，122122x x pk x x p +=⎧⎨=-⎩ 设过点()11,A x y 的切线方程为()111x y y x x p-=- ①同理，过点()22,B x y 的切线方程为222()x y y x x p-=-， ② 由①②得1222x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.故过A ,B 两点的切线交与点Q 12(,)22x x p +-,在准线2py =-上. （2）因为22x y p =，所以/xy p =，故1AQ x k p =，2BQ x k p=，AQ BQ k k ＝12x x p p ⋅＝1221x x p=-，因此，QA QB ⊥. （3）QF ＝12(,)2x x p +-，AB ＝2121(,)x x y y --， QF AB ⋅＝122121()()()2x x x x p y y +-⋅-+-＝22221221()222x x x x p p p -+-＝22122x x -＋22212x x -＝0. 因此，QF AB ⊥.变式1 如图10-28所示，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2ax c=于点Q ； 证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个公共点.题型2 中点弦问题思路提示直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高 考的一个热点问题.这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题。

首先要考虑是点差法.即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜在椭圆221(0)a b a b +=>>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a⋅=-.在双曲线22221(,0)x y a b a b -=>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a⋅=.（其中0k 为原点与弦中点连线的斜率）.在抛物线22(0)y px p =>中，中点弦的斜率为k ，满足0k y p ⋅=（0y 为中点纵坐标）.例10.37已知过点M 11(,)22的直线l 与椭圆2212x y +=交与A ,B 两点，且OM ＝12()OA OB +(O为坐标原点)，求直线l 的方程.解析 由题设知M 是线段AB 的中点，且102M y =≠，故直线AB 的斜率存在. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得， 12121212121()2y y x x x x x x y y -+=-⋅≠-+，故121211112212AB x x k y y +=-⋅=-⋅=-+， 所以直线l 的方程为111()222y x -=--，即2430x y +-=. 评注 由中点弦结论知当椭圆焦点在x 轴上时，有22OM l b k k a⋅=-，得. 2212l OM b a k k -==-，则直线l 的方程为111()222y x -=--，即2430x y +-=. 变式1 已知椭圆方程为2212x y +=.（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P (2,1)的直线l 与椭圆相交，求被l 截得的弦的中点的轨迹方程.例10.38如图10-29所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22142x y +=，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k .求证：对任意k ＞0，都有P A ⊥PB .解析 解法一：将直线P A 的方程y kx =代入22142x y +=，解得212x k =±+记212u k=+则(,)P k μμ，(,)A k μμ--，于是(,0)C μ，故直线AB 的斜率为02k kμμμ+=+，其方程为()2k y x μ=-，代入椭圆方程得22222(2)2(32)0k x k x k μμ+--+=,解得22(32)2k x k μ+=+或x μ=-，因此2322(32)(22k k B k k μμ+++，），于是直线PB 的斜率321222(32)2k kk k k k μμμμ-+=+-+＝3222(2)132(2)k k k k k k -+=-+-+，因此11k k =-，所以P A ⊥PB . 解法二：设11(,)P x y ，11(0,0)x y >>，22(,)B x y ，则11(,)A x y --,1(,0)C x ,且22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，2222212111()()042x x y y -+-=，即2221222112y y x x -=--，即21212121()1()2y y y y x x x x ---⨯=----，故12AB PB k k ⨯=-，所以12PA PB PA ABk k k k -⨯=⨯＝12PA AB k k -⨯＝12PA AC k k -⨯＝11111()1120()y x x x y ---⨯⨯=---， 所以P A ⊥PB .变式1 已知曲线222:1(0,1)y C x m m m+=>≠，过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.例10.39已知椭圆22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+,椭圆C 上有两个不同的点关于这条直线对称.解析 解法一：设出对称的两点及其所在的直线方程，再利用△＞0及中点在对称轴上求解.设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，其所在的直线方程为1:4l y x b =-+，代入椭圆的方程中得2213816480x bx b -+-=，因为12x x ≠，所以△＝2192(413)b --＞0，解得22b -<<，又因为124213x x b +=，121211224213y y x x bb ++=-⋅+=，而点1212(,)22x x y y ++又在4y x m =+上，所以 1212442213y y x x bm ++=-⋅=-，②把①代入②得m <<. 解法二：根据点差法并结合基本不等式求出m 的范围.设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有：2211143x y +=， ①2222143x y +=，② 121214PQ y y k x x -==--, ③1212422y y x x m ++=⋅+. ④ 由①－②得22221212043x x y y --+=，即1212043PQ x x y y k +++⋅=， 所以12123()4PQ x x k y y +=⋅-+， 代入③得12123()x x y y +=+，⑤把⑤代入④得122x x m +=-，⑥ 把⑥代入⑤得126y y m +=-，⑦①＋②得222212123()4()24x x y y +++=.⑧ 由题意12x x ≠，12y y ≠，根据基本不等式得2221212()2x x x x ++>，2221212()2y y y y ++>，所以222212123()4()x x y y +++＞2123()2x x +＋2122()y y +，⑨将⑥⑦⑧代入⑨得2234236242m m ⨯+⨯<.故1313m -<<.解法三：椭圆C 上存在不同的两点关于直线l 对称，等价于存在C 的弦被l 垂直平分，且垂直必在椭圆C 的内部，因此，这类问题可考虑利用交点在曲线C 的内部建立不等式.设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，弦PQ 的中点为00(,)M x y ，将11(,)P x y ，22(,)Q x y 代入椭圆方程并整理得0121203144x y y x x y -=-=--，即003y x =，① 由点M在直线:4l y x m =+上得004y x m =+，②由①②得00,3x m y m =-=-.因为M (,3m m --)在椭圆的内部，所以223()4(3)12m m -+-<，解得2132131313m -<<. 变式1如图10-30所示，已知椭圆E 经过点A (,3),对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率12e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由.变式2已知A ,B ,C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点. （1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.题型3 弦长于面积问题思路提示在弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式：221211AB k x k a∆=+-=+. （2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；（3）涉及到面积的计算问题.例10.40过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点，若线段AB 的长为8，则p =_____.解析 设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-，联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消y 得22304p x px -+=. 设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ，22(,)x y ，则121234x x p px x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，故12AB x =-=＝4p ＝8，则p ＝2.评注 过抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2pF 作倾斜角为α的直线交抛物线于A ,B 两点，则22sin pAB α=. 证明：设过焦点(,0)2p F 的直线方程为2p x ty =+，由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22()2p y p ty =+，即2220y pty p --=.设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ，22(,)x y ，则122122y y pty y p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，故AB=22(1)p t +＝222cos 22(1)sin sin pp ααα+=. 在选择或填空题中，如能运用公式，求解往往变得异常快捷，本题运用公式AB =2248sin 4pp π==，则p ＝2. 变式1已知椭圆22:12x C y +=，过椭圆C 的左焦点F 且倾斜角为6π的直线l 与椭圆C 交与A ,B ，求弦长AB .例10.41已知椭圆22:14x G y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 与A ,B 两点.（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将AB 表示为m 的函数，并求出AB 的最大值.解析（1）由已知得2,1a b ==，所以c =G的焦点坐标为(，离心率为2c e a ==. （2）解法一：由题意知，点(,0)m 在圆上或圆外，m ≥1，当1m =时，切线l 的方程为x ＝1，点A ,B的坐标分别为(1,)22-，此时AB =，当1m =-时，同理可得AB =. 当m ＞1，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，切线l 的方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=，由韦达定理得2122814k m x x k +=+，221224414k m x x k-=+，又由l 与圆221x y +=相切，得1=，即2221m k k =+，可得AB＝上式对1m =±也成立，所以AB，(,1][1,)m ∈-∞-+∞.因为AB＝m m+2，当且仅当m =max AB ＝2. 所以AB 的最大值为2.解法二：易知直线l 的斜率非零(否则直线l 与圆相交)，矛盾,故可设:l x ty m =+，t R ∈,11(,)A x y ，22(,)B x y ,因为直线l 与圆221x y +=相切，1=，即221t m =-，(m≥1)，①由2214x ty mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240t y mty m +++-=，222(2)4(4)(4)mt t m ∆=-+-，且由①得22224(1)4(4)(3)480t t t t ∆=+-+-=>，由韦达定理得12224mty y t +=-+，212244m y y t -=+，②所以结合①②得AB ＝221212()()x x y y -+-＝2212(1)()t y y +-＝2212121()4t y y y y +⋅+-＝2433m m +.所以AB ＝2433m m +，(,1][1,)m ∈-∞-+∞.因为AB ＝2433m m +＝433m m+≤2，当且仅当3m =±时，max AB ＝2. 所以AB 的最大值为2.变式1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2M ，其离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+(k ≤12)与椭圆C 相交于A ,B 两点，以线段OA , OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为原点，求OP 的取值范围.变式2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，离心率为32, O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P (异于点A )为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D . 如图10-31所示，求DE AP的取值范围.例10.42已知F 1, F 2是椭圆22143x y +=的左右焦点，AB 是过点F 1的一条动弦，求△ABF 2的面积的最大值.解析 由题意可知F 1(－1,0), F 2(1,0),设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当直线l 的斜率为0时，△ABF 2不存在，所以l 不可能是一条水平的直线，故可设:1l x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty +--=， 所以222(6)36(34)144(1)0t t t ∆=-++=+>，且122122634934t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，①所以21212ABF AF F BF F S S S ∆∆∆=+＝121212F F y y ⋅-＝12122y y ⨯-＝.设s =1，则2212121313ABF sS s s s∆==++，在[1,)s ∈+∞上单调递减，因此2max 12()34ABF S ∆==. 变式1已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+.（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 交椭圆M 交与点A ，B ，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值.例10.43（2012北京西城二模理18）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点， （1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.解析（1）由题意F (1,0),设直线AB 方程为1x my =+，将直线AB 方程与抛物线方程联立，消去x 得2440y my --=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ,所以12124,4y y m y y +==-，① 因为2AF FB =，所以122y y =-，②由①②解得4m =±.所以直线AB的斜率为±. （2）如图10-32所示，由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 面积等于2AOB S ∆,因为2AOB S ∆＝12122OF y y ⨯⋅⋅-＝=所以0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.变式1（2012北京海淀一模理19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(－1,0), P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45°.（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11:l y kx m =+与椭圆G 交与A ,B 两点，直线22:l y kx m =+与椭圆G 交与C ,D 两点，12m m ≠且AB CD =,如图10-33所示，（Ⅰ）证明：120m m +=；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.有效训练题1. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为F 1, F 2,过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于点A ，B ，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③83AB =，正确结论的个数为（ ）.A . 3B . 2C . 1D . 02. 斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）.A .B .C .D . )+∞3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为（ ）.A . 2B . 4C . 6D . 84.过点P (0,2)的直线l 与抛物线24y x =交于点A ,B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）.A . 2220y y x --=(y ＜0或y ＞4)B . 2220y y x --=C . 2240y y x --=D . 2240y y x --=(y ＜0)5.椭圆221369x y +=的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）. A . 20x y -= B . 2100x y +-= C . 220x y --= D . 280x y +-=6.已知A ,B ,P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A , B 连线经过坐标原点，若直线P A , PB的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为（ ）.A .B C D 7.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A ,B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为，则ab的值为________. 8.已知抛物线24y x =，过点P (4,0)的直线与抛物线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则2212y y +的最小值是________.9.抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:l y x m =+相交于A ,B 两点，线段AB 中点的横坐标为5，又抛物线C 的焦点到直线l m ＝________.10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为A (2,0)，离心率为，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ,N .（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMN的面积为3时，求k 的值.11. 椭圆T 的中心为坐标原点O ，右焦点为F (2,0)，椭圆T 过点E)，△ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边的中点分别为M ,N ,P .（1）求椭圆T 的方程；（2）设△ABC 的三条边所在的直线的斜率分别为123,,k k k ，且0,1,2,3i k i ≠=.若直线OM , ON , OP 的斜率之和为0，求证：123111k k k ++为定值.12.已知一动圆与圆221:(1)1O x y -+=外切，与圆222:(1)9O x y ++=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程；（2）设过圆心O 1的直线l 与轨迹L 相交于A ,B 两点，请问△ABO 2的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由.。