是ＨＲ上的一个基． I2=J2=K2= E． IJ=K= JI, JK=I= KJ, KI=J= IK.
作业：P89, 2,3,4.
除环
设R是环,
如果R*关于R的乘法是群,
则称R是除环.
域是交换的除环.
例11 四元数除环
２阶复矩阵集合
a bi c di 2 H a , b , c , d R , i 1. c di a bi
关于矩阵的加法和乘法运算构成一个除环.
例4 令 f : M n1 (F) Mn(F) A n 1 A n 1 0 0 0
例5 令 h : Mn(F) M n1 (F), A n 1 α A n 1 β t 易知 h 保持加法运算. 但 h 不是环同态.
易知 f 是环同态.
f 是单同态: Ker( f )={0}. 同构＝同态＋双射 f 是满同态: Im( f )=T.
美丽的数学花, 谨献给热爱数学、
并执著地追求她的人.
环的定义：环R是具有两个运算的代数系统 (R,+, · ), 其运算满足:
(I) (F,+)是加群, 单位元叫零元，记0; a 的逆元叫负 元,记 a. (II) (F, · ，1)是幺半群。 (III) 两个运算之间的联系: 乘法对加法满足左、右分配律;


1
1 2 2 数域Ｒ上的四维向量空间，
1 0 i 0 0 1 0 i E , I , J , K 0 1 0 i 1 0 i 0 ,
定 义
设R ,T都是环, 如果映射 f : R T a,b∈R 保持运算:
1) f(a+b) = f(a)+ f(b),
2) f(ab) = f(a) f(b),
则称 f 是 R 到 T 的一个同态。 f 的核: Ker( f )={a∈R: f(a)=0T} (R?).
f 的像: Im( f ) = { f(a): a ∈R } (T?).
乘法满足 交换律的 环叫交换 环.
例1 复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z 关于数的加法和乘法运算都是环。 数集关于数的加法和乘法运算作成的环，叫数环。 例2 域F上的全体多项式集合F[x]关于多项式
的加法和乘法运算是一个环.
例3 域F上的全体 n 阶方阵Mn(F)关于矩阵的加法和 乘法运算是一个环。
定义1
命题1
设S是环R的子集, 1 ∈S. 若S关于R的运 算也是一个环,则称 S为R的子环,记SR.
设S是环R的子集, 则 SR a,b∈S 有 a b∈S, ab∈S, 且 1 ∈ S.
1) 基本运算 性质 a,b∈R 2) 3)
(a+b)= a b a0=0=0a ab=(a)(b)