注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__奇数.doc1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。

建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^32p ==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂p p L ，求得到θ的极大似然估计值：nn n n p 22210^++= 7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为：4484.05.0)64()64(5.0)25/2444()25/2444(22^=-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)624()25/244(}{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^=A9、解 由题意得μμμμ=-=-=∑∑==78)()(81159^1i i i i X X E E及μμμμ=-=-=∑∑==2)7141()(81159^2i i i i X X E E所以^1μ和^2μ都是μ的无偏估计量又：22281159^178)()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D以及22281159^2145497168)7141()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D有)()(^2^1μμD D >，说明2^μ更有效。

11、解 由题意可以求出：θθ2);()(022==⎰∞dx x f x X E 。

建立建立关于θ的似然函数：)()(212θθθi X in i eX L -=∏=，于是有：∑∑∑==-=--==ni i i n i X in i Xn X eX L i 121212ln )ln()ln()(ln 2θθθθθ令02)(ln 122=+-=∂∂∑=ni i X nL θθθθ，得到θ的极大似然估计值：nXni i212^∑==θ。

又：θθθ====∑=22)2()2()(2112^X E n X E E ni i，无偏的。

13、解 43);()(0θθθ==⎰dx x xf X E ，于是得θ的矩估计量为：34^X =θ。

建立建立关于θ的似然函数：)3()(321θθini X L =∏=()i X >θ，若使其似然函数最大，于是可以求出θ的极大似然估计值：),,,m ax (21^n X X X =θ。

(2)由)(32211X X T +=，可计算θ=+=)]()([32)(211X E X E T E 。

设),m ax (21X X Z =，那么)()(),()),(m ax (}{212121t X P t X P t X t X P t X X P t Z P <<=<<=<=<，当0<t 时，0)),(m ax (}{21=<=<t X X P t Z P ，于是()767)1())(1())(1(02330θθθθθ=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<-=-=⎰⎰⎰∞∞dt t dt t Z P dt t F Z E Z 从而：θ===)),(max(67)),max(67()(21212X X E X X E T E因此1T 和2T 都是θ的无偏估计量。

又2221211135415194)]()([94))(32()(θθ=⋅=+=+=X D X D X X D T D222121236119633649)),(max(3649)),max(67()(θθ=⋅===X X D X X D T D由于2221361)(1354)(θθ=>=T D T D ，所以2T 比1T 更有效。

15、解 由于λλ==⎰∞0);()(dx x xf X E ，可求出λ的矩估计量为：X =^λ又根据λ的似然函数：λλλλ/11);()(∑--===∏=ni i X n i n i eX f L ，令0)(ln 21=+-=∂∂∑=λλλλni iX n L ，得到λ的极大似然估计量：X =^λ 因此X 既是λ的矩估计量，也是极大似然估计量。

（2）λcn X c E ni i =⋅∑=)(1，以及221)(λn c X c D ni i =⋅∑=。

用∑=⋅ni i X c 1作为λ的估计量，其均方误差为：()()12)1(]2[])[()(222222211+-+=+-=-=∑∑==cn n n c X cn Xn c E X c E X c Mse ni i ni i λλλλ于是，取11+=n c 时，在均方误差准则下，∑=⋅ni i X c 1比X 更有效。

17、解 （1）只对X 做一次观察。

由题意得：X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：2)1()|2(θθθ-==X P ，2)1(),2(θθθ-==X P ，10≤≤θ从而⎰⎰=-====121121)1(),2()2(θθθθθd d X P X Pθ的条件概率密度函数为2)1(12)2(),2()2|(θθθθπ-=====X P X P X ，于是θ的贝叶斯估计为：52)1(12)2|(10221^=-===⎰⎰θθθθθθπθd d X B （2）对X 做三次观察。

由题意得：321,,X X X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：103321)1()|5,3,2(θθθ-====X X X P ，103321321)1()()|5,3,2();5,3,2(θθθπθθ-========X X X P X X X P ，10≤≤θ从而40041)1();5,3,2()5,3,2(110310321321⎰⎰=-========θθθθθd d X X X P X X X P θ的条件概率密度函数为：103321321321)1(4004)5,3,2(),;5,3,2()5,3,2|(θθθθπ-===========X X X P X X X P X X X ，于是θ的贝叶斯估计为：154)1(4004)5,3,2|(11041321^=-=====⎰⎰θθθθθθπθd d X X X B 19、解 由题意得：λλ1);()(0==⎰∞dx x xf X E ，由题意得：^λ的矩估计量为：X1^=λ。

由题意得：()14~2271χλ∑=i i X ，设存在两个数a 和b ，使得：8.0)2(71=<<∑=b X a P i i λ，即8.0)1414(=<<X bX a P λ，经查表得到()7895.7149.02==χa ，()0641.211421.0==χb ，于是λ的置信水平为80%的双侧置信区间为：（⎪⎭⎫⎝⎛X X 50.1,56.0 21、解设)110(~10/--t S X μ， 由题意得，68.5=x ，29.0=s ，由给定的置信水平95%，利用Excel 得到2622.2)9(025.0=t ，所以μ的置信水平为95%的置信区间为：)887.5,473.5()10/29.0)9(,10/29.0)9((025.0025.0=⋅+⋅-t x t x23、解 由题意得，()11~)112(222χσs -，于是2σ的置信水平为90%的置信区间为：()())096.0,022.0()5748.411,6751.1911()1111,1111(2295.02205.022==s s s s χχ 25、解 （1）设1μ和2μ分别是第一种和第二种机器的平均分钟，取21μμ-的无偏估计为21X X -，由于两个总体的方差相等，所以有())2(~1121212121-++---n n t n n S X X w μμ，根据已知条件知6021==n n ，4.191=s ，8.182=s ，7.801=x ，1.882=x ，可以求得2.3612)1()1(212222112=-+-+-=n n s n s n S w于是，21μμ-的置信水平为95%的置信区间为：)494.0,306.14(11)2120(,11)2120(21025.02121025.021--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+---n n S t x x n n S t x x w w （2）从第一问的结果可以看出有显著差异。

27、解 （1）设1σ和2σ分别是郊区A 和郊区B 的居民收入方差，则：)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ， 根据已知条件知5221==n n ，52.2031=s ，12.3582=s ，35.57601=x ，20.65702=x ，于是，21/σσ的置信水平为95%的置信区间为：)563.0,185.0()1,1(1,)1,1(121025.01222121025.02221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n n F s s n n F s s 可见两郊区居民收入的方差有显著差异，郊区B 居民的贫富差距程度比郊区A居民严重。

（2）设1μ和2μ分别是郊区A 和郊区B 的居民平均收入，取21μμ-的无偏估计为21X X -，由于两个总体的方差相等，所以有())2(~1121212121-++---n n t n n S X X w μμ，可以求得265.291]2)1()1([5.021222211=-+-+-=n n s n s n S w于是，21μμ-的置信水平为95%的置信区间为：)891.697,809.921(11)2104(,11)2104(21025.02121025.021--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+---n n S t x x n n S t x x w w ， 可见，两郊区居民的平均收入方差有显著差异，郊区A 居民平均收入比郊区B 居民低。