其中:
第 7 章 非正弦周期电流电路
A 0 : f ( t )的直流分量，也称零次谐波; A 1 m sin ( ωt + θ 1 ):基波分量，也称一次谐波， 其周期和频率与原函数相同; 其余各项:高次谐波。若傅立叶级数是收敛的，一般来说 其谐波次数越高，振幅越小。 将非正弦周期函数 f (t )分解为直流分量、基波分量和 一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为非正弦周期函数的 谐波分解。谐波分析的意义在于，傅立叶级数是一个收敛级 数，当 k 取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函 数，但在实际工程计算时，只能取有限的前几项，取的项数与 工程所需精度有关。
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7. 3 有效值、 平均值和平均功率
1. 有效值 工程上将周期电流或电压在一个周期 T 内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，即
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从而得到任一周期电流 i (t )的有效值:
非正弦周期信电流也可以根据式( 7. 3. 1 )求有效值， 例如一非正弦周期电流 i ( t )，分解为傅立叶级数:
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(2)分别计算傅立叶级数中各项电压或电流分量单独作用 时电路的响应(需要注意的是电压或电流的直流分量作用于电 路时，电路应看做直流电阻电路，也就是电感看做短路、 电容看做开路的情况);
(3)应用叠加定理，将各响应分量的瞬时表达式求代数和 (注意:由于各次谐波的频率不同，不能用相量形式求和)。
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解 首先将 u s 展开成傅立叶级数，根据方波的傅立叶级 数可知
将方波作用于 RL 电路相当于把振幅为
频率为 ω ，3 ω ， 5 ω …的正弦电源同时串联作用于电
路，分别求出每一个频率分量电源(正弦电源)作用下的 u
(1 )L， u (3 )L…，显然每一个电源作用仍可以用相量法，
将各频率分量的
叠加，即可求出u L 。
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的相量表达式为
根据 k 的取值可分别求出 叠加这些分量可得 u L 。
对应写出
所以
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所以
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所以
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叠加后可得
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【例 7.4. 2 】 已知电路 7. 4. 2 中: u s ( t ) =40+180sin ωt +60sin ( 3 ωt +45° ) +20sin ( 5 ωt +18° ) V ， f =50Hz ，求 i ( t )和电流有效值 I 。
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将周期函数分解成傅立叶级数是非正弦交流电路分析的第 一步，工程中常用查表的方法得到典型周期函数的傅立叶级数。 表 7.2. 1 中是电工技术中常用的几种非正弦周期函数 的波形和傅立叶级数展开式。
第 7 章 非正弦周期电流电路
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将 i 代入式( 7. 3. 1 )，则其有效值为
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【例 7. 3. 1 】 已知周期电流 i ( t ) =1+0. 707sin ( ωt -20° ) +0. 42sin ( 2 ωt +50° ) A ，试求其有 效值。
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则 f (t )就可以分解成一个收敛的傅立叶级数，即
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式中， ω =2π / T ， a0 、 a k 、 b k 为傅立叶系数， 计算公式如下:
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利用三角函数公式，式( 7. 2. 2 )还可以写成第二种形 式:
本章仅讨论非正弦周期信号作用于线性电路的分析与计算。
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图 7.1. 2 几种常见的非正弦周期信号
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7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数
分析在非正弦周期信号的作用下的线性电路的稳态响应时， 可采用傅立叶级数展开的方法，将非正弦周期信号分解为一系 列不同频率的正弦量之和的形式，基于线性电路中的 叠加定理，分别计算在各个正弦分量单独作用时的电压或电流 响应分量，最后将各分量瞬时值叠加，即为该非正弦周期信号 作用下的稳态响应。其实质就是将非正弦周期电流电路 的分析转化为正弦交流电路的分析。
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计算非正弦周期电流电路时应注意的问题: (1)当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，遇 电感元件则要按短路处理; (2)任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流 电路的计算方法完全相同，只是必须注意，不同谐波频率下电 感和电容上的电抗各不相同。 (3)用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进 行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的 解析式后再进行叠加。 (4)不同频率的各次谐波响应不能画在同一个相量图上， 也不能出现在同一个相量表达式中。
图 7.1. 1 正弦波信号经过半波整流后得到非正弦波
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在现实中非正弦周期电压、电流是普遍存在的，我们应用 的某些直流电源和正弦电源，严格地说是近似的直流电源和正 弦电源，如通过整流而获得的直流电压，尽管采取某些措施使 其波形平直，但仍不可避免地存在一些周期性的起伏，即存在 纹波;在电力系统中，即使发电机产生的电压要求按正弦规律 变化，但由于制造方面的原因，尽管是周期变化的， 但其电压波形会产生畸变，形成非正弦周期变化的波形;以及 实验室经常使用的电子示波器扫描电压的锯齿波、在自动控制 及电子技术领域中经常使用的脉冲信号也都是非正弦的 周期信号。图 7.1. 2 所示为几种常见的非正弦周期信号。
【例 7.3. 3 】 已知某二端网络的电压电流分别为
当 u (t )与 i ( t )取关联参考方向时，求二端网络吸收的 平均功率。
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解
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7. 4 非正弦周期电流电路的计算
分析非正弦周期电流电路的方法为谐波分析法，分析步骤 如下:
(1)将给定的电源电压或电流展开成傅立叶级数，根据要 求的计算精度选择展开的级数数目;
由式(7. 3. 8 )可知，非正弦周期电流电路的平均功率 = 直流分量的功率 + 各次谐波平均功率，各次谐波的功率等 于各次谐波电压、电流的有效值与各次谐波功率因数的乘积。 只 有同频率的电压谐波与电流谐波才能构成平均功率，不同频率 的电压谐波和电流谐波只能构成瞬时功率，不产生平均功率。
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由高等数学可知，如果一个函数是周期性的且满足狄里赫 利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅立叶级数。电 工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。
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图 7.2. 2 矩形波的合成
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若有函数 f (t )，满足 f ( t ) = f ( kt + T )， k =0 ， 1 ， 2 ，…，则称 f ( t )为周期函数，其中T 为常 数，为 f ( t )的周期。若其满足狄里赫利条件： ① f ( t )的极值点数目有限； ② 间断点的数目无限； ③ 在一 个周期内绝对可积，即
观察表 7. 2. 1 中各波形可发现:方波、等腰三角波只 含有 sin 项的奇次谐波;锯齿波和全波整流都含有直流成分， 且锯齿波还包含 sin 项的各偶次谐波;全波整流则包含 cos 项的 各偶次谐波。
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期 信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。非正 弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重，取决于它们 波形的平滑性即越不平滑的波形所含有的高次谐波越严重。
第 7 章 非正弦周期电流电路
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7. 1 非正弦周期信号 7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数 7. 3 有效值、平均值和平均功率 7. 4 非正弦周期电路的计算 7. 5 非正弦周期电路的计算仿真 习题7
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 1 非正弦周期信号
在前面章节的介绍中我们知道，同一个线性电路中，在一 个正弦交流电源的作用下电路中各支路的稳态电压和电流都是 同频率的正弦量，但是如果将电源换成几个具有不同频 率的正弦交流电源，那么该线性电路的稳态响应通常是非正弦 的周期性电压和电流；在某些电路中电源电压或电流本身就是 非正弦周期函数，例如由方波或锯齿波电压源作用而引 起的响应一般也是非正弦周期函数。
图 7.3.
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平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，定义式为
Hale Waihona Puke 可得第 7 章 非正弦周期电流电路
式中， U 0 I 0 表示零次谐波功率(直流分量功率)；U k 、 I k 表示 k 次谐波电压、电流的有效值(k =1 ， 2 ， 3 …)， 由式( 7. 3. 5 )可得到； φ k 表示 k 次谐波电压对电流 超前的相位差； cosφ k表示各次谐波的功率因数。
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此外，在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激 励的作用下，电路中也会出现非正弦电流。例如:图 7. 1. 1 ( a )所示的半波整流电路，正弦电流作用于非线性的 二极管元件，经过整流后得到了半波的周期电压、电流波形， 如图 7.1. 1 ( b )所示。
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图 7.4. 2 例 7. 4. 2 的电路图
叠加后的波形如图 7.2. 2 ( b )所示。
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