培优专题4 无理数的整、小数部分的应用
实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．
解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题．
例1 a b a-b的值．
分析．即从而有：a=4，
．
．
即：
∴a=4，-4．
故a-b=4--4）．
练习1
1，b是a的小数部分，试用b的代数式表示a，并求a-b的值．
2的小数部分为b，求（4+b）b的值．
3a b，则a-b=_______．
例2 若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值是多少
分析无理数和是无限不循环小数，利用9<11<16，即<4这一点，是解这类题的突破口．
解：∵<4．
∴的整数部分为8，
1．
则-3，
．
∴=1．
练习2
1．若a与b，则（a+3）（b-4）=________．
2．已知与的小数部分分别为x、y，试求3x+2y的值．
3．已知m、n，试求（m+n）3的值．
例3
a ，小数部分是
b ，则a 2
+（）ab=________．
分析 先作分母有理化，将原式转化为a 的形式，再分别确定其整数、•小数部分的取值，最后代入求值．
1
2
（）
∵<3．
∴<6．
∴<
1
2
（）<3． 即a=2．
b=
1
2（-2
=1
2
-1）
则：a 2
+（）ab
=22
+（）×
1
2
）×2=10． 练习3 1．设x
x 2004-2x 2003+x 2002
=________． 2
a ，小数部分为
b ，则b a
=________．
3．设m
的小数部分，则36m 2
=________．
例4 a ，小数部分为b ，试计算：a+b+
2
b
=________．
分析 将被开方数配方，构造成完全平方式（）2
，再化简根式，•然后分析整数部分和小数部分．
.
∵<2
∴a=1，．
∴a+b+
2
b
=5． 练习4
1a ，小数部分是b ，则b a
=_______．
2a ，小数部分是b ，求a 2+ab+b 2
的值．
3．若[a]表示实数a 的整数部分，则
]等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例5 设，那么m+1
m 的整数部分是________．
分析 将代入式子m+1
m
进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无
理数的取值范围．
解：∵，
∴
1
m =14
）．
∴m+
1
m
14．
∵<5<
故<
∴
5 2.234⨯+<5 2.33
4
⨯+
即144<m+1m <14.5
4
． 因此m+1
m
的整数部分是3．
练习5
1．设a b 的小数部分，则
21
b a
-的值为（ ）
A +1
B -1
C -1
D +1
2．恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数是（） A．17 B．18 C．35 D．36
3a，小数部分为b，求a b
a b
-
+
-
a b
a b
+
-
的值．
答案:
练习1
1．解：∵，
4．
即a=4+b，
故a-b=4．
2
即<3．
的整数部分为2．
∴-2．
∴（4+b）b=（-2-2）=+2）=3．
3
∴．
即a=5．
<<
∴．
即b=5．
故a-b=5-4=1．
练习2
1．解：∵，
∴12，
5．
∴．
故（a+3）（b-4）=）（）=-13．
2．解：∵<3，
∴的整数部分是11，
的整数部分是6．
∴的小数部分-2，
的小数部分．
故3x+2y=3-2）+2（）．
3．解：∵
∴9
4
则
故（m+n ）3
=3
=1．
练习3
1
1
3
），
而<3，
∴+2<5．
∴
43<13）<53
． ∴x=1． 故x
2004
-2x
2003
+x
2002
=0．
2
1
2
-3），
而 <4，
∴-3<1，
∴0<12-3）<12
．
则a=0，b=1
2
-3）．
故b a
=1．
3
=1
6
），
而，
∴．
∴1<1
6
）<
7
6
．
∴m=1
6
）-1=
1
6
）．
故36m
2
练习4
1
∴a=2，
．∴b a=（
2
2
==
，
∴<6．
a=5，小数部分
-2．
故a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（
-2）2-5
-2）
．
3
3
2
==
又∵<3，
∴<6．
即<
1
2
（
）<3．
故
]等于2．
练习5
1.
，
．
即-1．
，
-2．
即-2．
故
21
b a -+1． 故选A ．
2.解：设其中最小的正整数为n 2
，则其算术平方根的整数部分为n ，•
即最大整数一定为（n+1）2-1． 依题意可得：（n+1）2
-1-n 2=34． 即n 2
+2n+1-1-n 2
=34
∴n=17．故选A．
3.
=
．
∴a=2．
．
故
a b
a b
-
+
-
a b
a b
+
-
=
22
22
()()
a b a b
a b
--+
-
=
22
4ab
a b
-
-
=
3
-4．
11- 11 -。