【模型解析】2020 中考专题 1——几何模型之双子型班级姓名.【例题分析】例 1.如图 1，直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0),以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x 正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA 交y 轴于点E．(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由．图 1例2.如图 2-1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°,cosC＝5,点6D、E分别是边BC、AC 的中点，连接DE，AE将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时,仅就图 2-2 的情况给出证明．图2-1 图2-2的大小有无变化？请BD例3．如图3所示，在四边形A BCD 中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则B D 的长为．图3图4例4.如图4，在△ABC 中,∠ABC＝60°,AB＝2，BC＝8，以A C 为腰，点A为顶点作等腰△ACD, 且∠DAC＝120°,则BD 的长为.【巩固练习】1.如图1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O 为A C 中点，若点D在直线B C 上运动，连接O E，则在点D运动过程中，线段O E 的最小值是为（）A.12B.22C.1D. 2图1图22.如图 2,△ABC 为等边三角形,AB＝2,点D 为BC 边上的动点,连接AD,以AD 为一边向右作等边△ADE,连接C E. (1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为;(2)在点D 的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取AC 中点P,连接PE,在点D 的运动过程中,求PE 的最小值.3.在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图3-1，当点C1在线段C A的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图3-2，连接A A1,CC1．若△A1BA1的面积为4，求△CBC1的面积；图3-1 图3-24.【提出问题】（1）如图4-1，在等边△ABC中，点M是B C上的任意一点（不含端点B、C），连结A M，以A M为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图4-2，在等边△ABC中，点M是B C延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN 还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图4-3，在等腰△ABC 中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B、C），连结A M，以A M为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结C N．试探究B M与C N的数量关系，并说明理由．图4-1 图4-2 图4-35.如图 5，正方形ABCD、BGFE 边长分别为 2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线AE、GC 相交于点H．（1）在正方形B GFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，求DH 的最大值；图5备用图6.如图 6-1，已知点A(0,－3)和x 轴上的动点C(m,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．（1）在C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图 6-2，将△BCD 沿CD 翻折得△ECD,当点C 在x 轴上运动时，设点E(x,y),请你用m 来表示点E 的坐标并求出点E 运动时所在图象的解析式．（3）在C 点运动的过程中，当m 时，直接写出△ABD 是等腰三角形时E 点的坐标．图1图27.【问题探究】（1）如图 7-1，锐角△ABC 中分别以AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD,使AE＝AB,AD ＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图 7-2，四边形ABCD 中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD 的长．（3）如图 7-3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．图7-1 图7-2 图7-38.(1)如图 8-1，已知△ABC,以AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图 8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD 的长；（3）如图8-3，四边形A BCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝4,B D＝5,AD＝12，求B D3的长．图8-1 图8-2 图8-3参考答案例 1.解：①全等．理由：∵△AOB 和△CBD 是等边三角形，∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，在△OBC 和△ABD 中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，∴Rt△OEA 中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．例2.当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；例 3．解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，由勾股定理得D D′＝＝3 ，∠D′DA＋∠ADC＝90°，由勾股定理得C D′＝＝，∴BD＝CD′＝．故答案为：．例 4.解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转 120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE 于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，在R t△BED 中，BD＝＝10，故答案为：10．【巩固训练】1.解：设Q 是AB 的中点，连接DQ，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC＝2，O 为AC 中点，∴AQ＝AO，在△AQD 和△AOE 中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD＝OE，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵QD⊥BC，∴△QBD 是等腰直角三角形，∴QD＝QB，∵QB＝AB＝1，∴QD＝，∴线段O E 的最小值是为．故选：B．2.解：(1)△ABD≌△ACE 可得BD=CE,E 的运动路径的长即D 的运动路径长，BC=2.(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D 与点B 重合.因此不存在.(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE 时取最小值.PE=PC cos60°=1.23.解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝；4.（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（2）解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．（3）解：∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．5.解：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，在正方形ABCD，BGFE 中，AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，记AH 与BC的交点为点P，∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，∴∠AHC＝∠ABC＝90°，（2）DH≤DE+EG=BD=2 26.解：（1）连接A D，如图1所示．A、D 两点间的距离始终等于OC 的长度．理由如下：∵△AOB 和△BCD 都是等边三角形，∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，∴∠ABD＝∠OBC．在△ABD 和△OBC 中，有，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD＝OC．（2）过D 作DF⊥y 轴于F，连接BE，如图 2 所示．由（1）可知△ABD≌△OBC，∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．∵将△BCD 沿CD 翻折得△ECD 且△BCD 是等边三角形，∴四边形BCED 是菱形，∴BE、CD 互相平分．∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），∴点B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．∵m﹣＝（m﹣），∴点E在图形y＝x上运动．（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，△ABD 为等腰三角形分三种情况：①当AB＝AD 时，有 3＝m，此时点E的坐标为（﹣，﹣）；②当A B＝BD 时，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此时点E的坐标为（3，3）；③当A D＝BD 时，有m＝，解得：m＝（舍去）．综上可知：在C点运动的过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．7.解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如图 2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7 ，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如图 3，在线段AC 的右侧过点A 作AE⊥AB 于点A，交BC 的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7 ，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7 ﹣3）cm．8.解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C 为圆心，以AC 为半径画弧，交于点E，连接AE、CE则△ABD、△ACE 就是所求作的等边三角形；证明：如图 1，∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD；（2）如图 2，过A 作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE＝＝3 ，∴∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，在R t△DCE 中，EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；（3）如图 3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，连接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，在△DCE 中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠EDC＝90°，∵，AD＝12，∴AE＝9，∠DAE＝90°，∴DE＝＝15，CE＝＝5 ，由△EAC∽△DAB，∴BD＝．。