质点力学 4．计算题题号：01342001 分值：10分 难度系数等级：2一木块恰好能在倾角θ 的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v 0沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？解：由题意知： θμtg = ① 2分向上滑动时， ma mg mg =+θμθcos sin ② 2分aS 220=v ③ 2分 联立求解得 )sin 4/(20θg S v = 2分会静止，不再下滑． 2分题号：01342002 分值：10分 难度系数等级：2如图，一轻绳跨越水平光滑细杆A ，其两端连有等质量的两个小球a 和b ，开始时, a 球静止于地面, b 球从绳的l 1段为水平的位置由静止向下摆动，求a 球刚要离开地面时，跨越细杆A 的两段绳之间的夹角为多大？解：设a 球刚要离开地面时，b 球运动到c 点．以b 球、地球为系统机械能守恒. 设两球质量均为m ，有2121cos v m mgl =θ ① 3分 在c 点，由牛顿运动定律12/cos l m mg T v =-θ ② 3分当T = mg 时，a 球刚要离开地面，由②式12/cos l m mg mg v =-θ ③ 2分解①，③可得 31cos =θ， 137031arccos '︒==θ 2分bb题号：01342003 分值：10分 难度系数等级：2质量为2 kg 的质点，所受外力为i t F6= (SI)，该质点从t = 0时刻由静止开始运动，试求前2 s 内，外力所作的功．解： ma F =, )s m (3/2-⋅==t m F a 2分t a t 3d /d ==v , t t d 3d =v 2分由⎰⎰=tt t 0d 3d vv ，得 25.1t=v (m/s) 2分故 t = 2 s 时， v 2 = 6 m/s 1分 根据动能定理, 外力的功36210212222==-=v v m m W J 3分题号：01342004 分值：10分 难度系数等级：2一个质点在指向中心的平方反比力 F = k/r 2（k 为常数）的作用下，作半径为r 的圆周运动，求质点运动的速度和总机械能，选取距力心无穷远处的势能为零．解：质点速度为v ，向心加速度为v 2/r ，向心力为k/r 2．r m rk 22v = 3分mr k=v 2分r = ∞为势能零点 r kr rk r F E r r p -===⎰⎰⋅∞∞d d 2 3分总机械能 r k m E E E p K /212-=+=vrkr k r k 22-=-=2分题号：01343005 分值：10分 难度系数等级：3一轻绳上端固定, 下端挂一小球．现将小球拉到与铅直方向成θ 角的位置上再由静止释放，若当球通过最低点时，绳所受拉力为球重的n 倍，求θ 角（略去空气阻力）．解：对球─地系统，机械能守恒221v m mgh = 3分)cos 1(θ-=l h 1分对球，由牛顿定律 l m mg nmg /2v =- 3分 ∴ )cos 1(21θ-=-n )3(21cos n -=θ 2分23cos 1n -=-θ 1分题号：01343006 分值：10分 难度系数等级：3质量为M 的人，手执一质量为m 的物体，以与地平线成α 角的速度v 0向前跳去．当他达到最高点时，将物体以相对于人的速度u 向后平抛出去．试问：由于抛出该物体，此人跳的水平距离增加了多少？ (略去空气阻力不计)解：人到达最高点时，只有水平方向速度v = v 0cos α，此人于最高点向后抛出物体m ．设抛出后人的速度为v 1，取人和物体为一系统，则该系统水平方向的动量守恒．即)()(11u m M m M -+=+v v v 3分 )/(1m M mu ++=v v 2分 由于抛出物体而引起人在水平方向的速度增量为 )/(1m M mu +=-=∆v v v 1分因为人从最高点落到地面的时间为 g t /s i n 0αv = 2分故跳的水平距离增加量为 gM m mu t x )(sin 0+==∆∆αv v2分题号：01343007 分值：10分 难度系数等级：3设想有两个自由质点，其质量分别为m 1和m 2，它们之间的相互作用符合万有引力定律．开始时，两质点间的距离为l ，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为l 21时，两质点的速度各为多少？解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒．设两质点的间距变为l /2时，它们的速度分别为v 1及v 2，则有02211=-v v m m ① 3分lm Gm m m l m Gm 212222112122121-+=-v v ② 3分 联立①、②，解得T =)(22121m m l Gm +=v ， 2分)(22112m m l Gm +=v 2分题号：01345008 分值：10分 难度系数等级：5两个质量分别为m 1和m 2的木块A 和B ，用一个质量忽略不计、劲度系数为k 的弹簧联接起来，放置在光滑水平面上，使A 紧靠墙壁，如图所示．用力推木块B 使弹簧压缩x 0，然后释放．已知m 1 = m ，m 2 = 3m ，求：(1) 释放后，A 、B 两木块速度相等时的瞬时速度的大小； (2) 释放后，弹簧的最大伸长量．解：(1) 释放后，弹簧恢复到原长时A 将要离开墙壁，设此时B 的速度为v B 0，由机械能守恒，有2/3212020B m kx v = 2分 得 mkx B 300=v1分A 离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧伸长量为x 时有 022211B m m m v v v =+ ①2分202222221121212121B m m kx m v v v =++ ②2分 当v 1 = v 2时，由式①解出v 1 = v 2mkx B 3434/300==v 1分 (2) 弹簧有最大伸长量时，A 、B 的相对速度为零v 1 = v 2 =3v B 0/4，再由式② 解出 0max 21x x =2分题号：01344009 分值：10分 难度系数等级：4一、 质量为M 的木块静止在光滑的水平面上．质量为m 、速率为v 的子弹沿水平方向打入木块并陷在其中，试计算相对于地面木块对子弹所作的功W 1及子弹对木块所作的功W 2．二、 两个质量为m 1和m 2的小球在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为v 1和v 2（同向）．碰撞过程中，两小球的最大形变势能是多少？一解：设子弹打入木块后二者共同运动的速率为V ，水平方向动量守恒，有V M m m )(+=v , )/(M m m V +=v 2分木块对子弹作的功 2212121v m mV W -=22)(2)2(v m M m M Mm ++-= 2分 子弹对木块作的功 2221MV W =222)(2v m M Mm += 1分二解：在碰撞过程中，两球速度相等时形变势能最大．v v v )(212211m m m m +=+ ① 2分22122221)(212121v v v m m m m E p +-+= ② 2分 联立①、②得 )/()(212122121m m m m E p +-=v v 1分题号：01344010 分值：10分 难度系数等级：4如图，一辆静止在光滑水平面上的小车，车上装有光滑的弧形轨道，轨道下端切线沿水平方向, 车与轨道总质量为M ．今有一质量为m ( <M )、速度为0v的铁球，从轨道下端水平射入，求球沿弧形轨道上升的最大高度h 及此后下降离开小车时的速度v ．解：以V 表示球上升到最大高度时m 和M 的共同速度，则由动量守恒和机械能守恒可得 V M m m )(0+=v 2分m g hV M m m ++=220)(2121v 2分 由此二式可解得 )(22M m g M h +=v1分以V ′表示球离开小车时小车的速度，则在小球射入到离开的整个过程中, 由动量守恒和机械能守恒可得V M m m '+=v v 0 2分2220212121V M m m '+=v v 2分由此二式可得 )/()(0M m M m +-=v vv 与v 0反向. 1分题号：01344011 分值：10分 难度系数等级：4质量分别为m 和M 的两个粒子，最初处在静止状态，并且彼此相距无穷远．以后，由于万有引力的作用，它们彼此接近．求：当它们之间的距离为d 时，它们的相对速度多大？ 解：由动量守恒得 M m MV m =v ① 2分根据机械能守恒0/212122=-+d GMm MV m M m v② 2分由①，②得 )(2m M d Gm V M += 2分)(2m M d GMm +=v 2分M 和m 的相对速度为v r M m r V v v-=d m M G M m r /)(2+=+=V v v 2分题号：01343012 分值：10分 难度系数等级：3光滑圆盘面上有一质量为m 的物体A ，拴在一根穿过圆盘中心O 处光滑小孔的细绳上，如图所示．开始时，该物体距圆盘中心O 的距离为r 0，并以角速度ω 0绕盘心O 作圆周运动．现向下拉绳，当质点A 的径向距离由r 0减少到021r 时，向下拉的速度为v ，求下拉过程中拉力所作的功．解：角动量守恒 r m r m v v '=00 ① 3分v ＇为021r r =时小球的横向速度． 拉力作功2022121v v m m W B -= ② 3分v B 为小球对地的总速度， 而 222v v v +'=B 2分当021r r =时 2202021)2/3(v m mr W +=ω 2分题号：01343013 分值：10分 难度系数等级：3质量为m A 的粒子A 受到另一重粒子B 的万有引力作用，B 保持在原点不动．起初，当A 离B 很远( r = ∞)时，A 具有速度0v，方向沿图中所示直线Aa ，B 与这直线的垂直距离为D ．粒子A 由于粒子B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已知这轨道与B 之间的最短距离为d ，求B 的质量m B ．解：A 对B 所在点的角动量守恒．设粒子A 到达距B 最短距离为d 时的速度为v ．d m Dm A A v v =0 2分d D /0v v = 2分A 、B 系统机械能守恒(A 在很远处时， 引力势能为零)d m Gm m m B A A A /2121220-=v v 2分解得 d Gm B /2202=-v v 2分Av∴ )2/()(2022Gd d D m B v -= 2分题号：01341014 分值：10分 难度系数等级：1质量为m 的质点开始时静止，在如图所示合力F 的作用下沿直线运动，已知)/2sin(0T t F F π=，方向与直线平行，求：(1) 在0到T 21时间内，力F 的冲量大小； (2) 在0到T 21时间内，力F 所作的总功.解： (1) ⎰=2/0d )(T t t F I 2分计算得 πππ02/002cos 2TF T tTF I T =-= 3分(2) π0TF m v I == 2分mTF v π0= 1分由于 v 0 = 0 ，由动能定理 2022121v v m m W -= )2/(2202m F T π=2分。