2018年安徽省合肥市第一中学冲刺高考最后1卷理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{||3|2},{|43}A x x x B x x =-<=-<<，则()R C A B ⋂=（ ） A ．(4,1]- B ．[3,3)- C ．[3,1]- D ．(4,3)-2. 已知i 是虚数单位，若2z i =+，则zz的虚部是（ ） A ．45i B ．45 C ．45i - D ．45-3. 已知0w >，函数()cos()3f x wx π=+在(,)32ππ上单调递增，则w 的取值范围是（ ）A ．210(,)33B ．210[,]33C ．10[2,]3D ．5[2,]34. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上有叙述为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），如图是源于其思想的一个程序框图，如果输出的S 是60，则输入的x 是（ ）A ．4B ．3 C. 2 D ．15. 已知,αβ分别满足24,(ln 2)e e e ααββ⋅=-=，则αβ的值为（ ）A ．eB ．2e C. 3e D ．4e6. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．22+B ．722+ C. 2+．2+7. ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知222222c b a =-⋅2sin1cos 22A BC +=+，则sin()B A -的值为（ ）A ．12 B C. 23 D ．45 8. 某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（ ） A ．1613 B ．2013 C. 3213D ．4013 9. 已知函数()y f x =单调递增，函数(2)y f x =-的图像关于点(2,0)对称，实数,x y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+--≤，则226414z x y x y =+-++的最小值为（ ）A ．32 B ．23 C. D 10. 一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得14ki i a -=∑的概率mp n=，其中,m n 是互质的正整数，则54log log m n -的值为（ ） A ．1 B ．1- C. 2 D ．2-11. 已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)M m （0m >，且2pm ≠）作直线AB 交抛物线于,A B 两点，且直线AB 不垂直x 轴，在,A B 两点处分别作该抛物线的切线12,l l ，设12,l l 的交点为Q ，直线AB 的斜率为k ，线段AB 的中点为P ，则下列四个结论：①2A B x x m ⋅=；②当直线AB 绕着M 点旋转时，点Q 的轨迹为抛物线；③当,08pm k =>时，直线PQ 经过抛物线的焦点；④当8,0m p k =<时，直线PQ 垂直y 轴.其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个 C. 2个 D ．3个12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x R ∈有2()()2f x f x x +-=，且当[0,)x ∈+∞时，()2f x x '>.若(2)()4(),()x f e a f a e e a g x e ax --<-=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个 C. 2个 D ．3个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平行四边形ABCD 中，3,5,||4AB AD DA DC →→==+=，则BA AD →→⋅= ．14. 271(21)(2)x x x--的展开式中含7x 的项的系数是 ．15. 棱长为1的正方体ABCD EFGH -如图所示，,M N 分别为直线,AF BG 上的动点，则线段MN 长度的最小值为 ．16. 如图所示，已知直线AB 的方程为1x ya b+=，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段AB 相切，||AB c =，则两圆半径r = （用常数,,a b c 表示）．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n S n n =++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2n an n b a =⋅，求{}n b 前n 项和n T .18. 底面OABC 为正方形的四棱锥P OABC -，且PO ⊥底面OABC ，过OA 的平面与侧面PBC 的交线为DE ，且满足:1:4PDE PBC S S ∆∆=. （1）证明：//PA 平面OBD ； （2）当223POB SS ∆=四边形OABC时，求二面角B OE C --的余弦值.19. 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1）求,,,,b c d e n 的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2,0.5,0.2,0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.1,0.2,0.6,0.2.则：1）当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；2）当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率； 3）如果你是教练员，应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员？ 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 20. 已知椭圆22221(1)x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，且12||2F F c =，⊙222:()1F x c y -+=与该椭圆有且只有一个公共点. （1）求椭圆标准方程；（2）过点(4,0)P c 的直线与⊙2F 相切，且与椭圆相交于,A B 两点，求证：22F A F B ⊥；（3）过点(4,0)P c 的直线l 与⊙2221:(1)(1)F x y r r ++=>相切，且与椭圆相交于,A B 两点，试探究22,F A F B k k 的数量关系. 21. 已知函数()f x ax=. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）已知()(2)g x x =-(0,1)x ∈时，()()20g x f x ax --->.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=-.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程，并求出曲线C 上到直线l 的距离最大的点的坐标， （2）求曲线C 的极坐标方程，并设,A B 为曲线C 上的两个动点，且0OA OB →→⋅=，求2||AB →的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||g x x x m =+--.（1）当3m =时，求不等式()4g x >的解集；（2）若()|4|g x x ≥-的解集包含[3,5]，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABCCD 6-10:CBCAB 11、12：CC二、填空题13. 9- 14. 1024 15.316. ()2()c a b c a b +-+三、解答题17.解：（1）2211112,(1)(1)2(2),2(2),4n n n n n S n n S n n n a S S n n a S --=++=-+-+≥∴=-=≥==.故*4(1)2(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩.（2）*42224(2,)24264(1)n na n a n n n n n n Nb a n ⎧⋅=⋅≥∈⎪=⋅=⎨⋅==⎪⎩，当2n ≥时，2312...642(2434...4)n n n T b b b n =+++=+⨯+⨯++⨯，令233412434...4,42434...(1)44n n n n nP n P n n +=⨯+⨯++⨯∴=⨯+⨯++-⨯+⨯， 32234114(41)32444432441n n n n P n n -++--=⨯++-⨯=+-⨯-，13132444393n n n n P ++-⨯∴=--+，故1*(62)4512643(2,)9n n n n T P n n N +-⋅+=+=≥∈， 又164T =满足上式，1*(62)4512()9n n n T n N +-⋅+∴=∈. 18.解：（1）由题知四边形OABC 为正方形，//OA BC ∴，又BC ⊂平面,PBC OA ⊄平面PBC ，//OA ∴平面PBC ，又OA ⊂平面OAED ，平面OAED ⋂平面PBC DE =，//DE OA ∴，又//OA BC ， //DE BC ∴.由PDEPCB ∆∆且:1:4PDE PBC S S ∆∆=，知,E D 分别为,PB PC 的中点.连接AC 交OB 于F 点，连DF .//,DF PA DF ⊂平面,OBD PA ⊄平面OBD ，//PA ∴平面OBD .（2）底面OABC 为正方形，且PO ⊥底面OABC ，,,PO OA OC ∴两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2,2OA OC a OP b ===，则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),O C a B a a (,,0),(0,0,2),(,,)F a a P b E a a b .PO ⊥底面,OABC CF ⊂底面,OABC CF PO ∴⊥.四边形OABC 为正方形，,AC OB CF ∴⊥∴⊥平面OBE ，∴平面OBE 的一个法向量为(,,0)CF a a →=-.设平面OEC 的一个法向量为(,,)m x y z →=，而(0,2,0),(,,)OC a OE a a b →→==.由00m OC m OE →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩得02000x a y z ax ay bz ⋅+⋅+⋅=⎧⎨++=⎩，取得z a =-可得(,0,)m b a →=-为平面OCE 的一个法向量.设二面角B OE C --的大小为θ， 由22=2POB OABCSS ∆四边形得3PO =，所以b a =，故cos ||||||CF m CF m θ→→→→⋅===⋅， ∴二面角B OE C --19.解：（1）2250(221288)8,8,20,20,50, 5.556 5.024********b c m e n K ⨯⨯-⨯======≈>⨯⨯⨯, ∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.（2）1）设1A 表示“乙球员担当前锋”；2A 表示“乙球员担当中锋 ”；3A 表示“乙球员担当后卫”；4A 表示“乙球员担当守门员”；B 表示“球队输掉某场比赛”，则1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =++3344()(|)()(|)P A P B A P A P B A +0.20.40.50.20.20.60.10.20.32=⨯+⨯+⨯+⨯=.2）11()0.20.4(|)0.25()0.32P A B P A B P B ⨯===.3）因为1234(|):(|):(|):(|)0.08:0.10:0.12:0.02P A B P A B P A B P A B =，所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次. 20.解：（1）⊙2F 与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(,0)a 或(,0)a -，若公共点为(,0)a -时，则1a c +=，又12c a =，解得213a =<，与1a >矛盾，故公共点为(,0)a . 1a c r ∴-==，又12,12c e a c a ==∴==. 反之，当1c =时，联立2222(1)1143x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得20x y =⎧⎨=⎩满足条件.∴椭圆标准方程为22143x y +=. （2）(4,0)P ，设过(4,0)P 的直线:4l x my =+，联立22143x y +=，得22(43)24360m y my +++=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212222436,4343m y y y y m m +=-=++，又2(1,0)F ， 22211221212(1,)(1,)(1)3()9F A F B x y x y m y y m y y →→∴⋅=-⋅-=++++22222236(1)727299434343m m m m m m+-=-+=+++. 由:4l x my =+与⊙222:(1)1F x y -+=相切得2228,0m F A F B →→=∴⋅=，即22F A F B →→⊥. （3）猜：220F A F B k k +=.证明如下：由（2）得22121212212121223()113()9F A F B y y my y y y k k x x m y y m y y +++=+=--+++. 22121222367223()20,04343F A F B mmy y y y m k k m m ++=⨯-=∴+=++.21.解：（1()ln x x x =-.令2332,(0)x t x t t =∴=>. 令3()ln 2h t t at =-，则函数()y h t =与()y f x =的零点个数情况一致. 13()2h t a t '=-. 1）0a ≤时，()0.()h t h t '>∴在(0,)+∞上单调递增.又112231313131(1)0,()(1)0,12222a a a a h a h e a ae a a a a a e e a++=-≥=+-≤+-⋅=-+<∴个零点.2）0a >时，()h t 在2(0,)3a 上单调递增，2(,)3a+∞上单调递减. max 22()()ln 133h t h a a∴==-.①2ln 13a <即23a e >时，2()03h a <，无零点. ②2ln 13a =即23a e =时，2()0,13h a =个零点. ③2ln 13a >即203a e <<时，2()03h a >，又231,(1)032e h a a >>=-<. 又224222(1)(1)039333e a a a a a -=-<-<， 222423422()ln()2ln 932933h a a a a a a=-⋅=-， 令22222321226()2ln ,()2()0332333a a a a a a a a a ϕϕ-'=-=⋅-⋅+=>， ()a ϕ∴在2(0,)3e 上单调递增，2()()20,3a e eϕϕ∴<=-<∴两个零点.综上：当0a ≤或23a e =时，1个零点；当203a e <<时，2个零点；当23a e>时，0个零点.（2）要证()()20g x f x ax --->2(2)x <-(0,1)m =∈，只需证：22ln 2(2)m m m e m+<-.令22()(2),()(22)m m l m m e l m m m e '=-=--+，()l m ∴在1)上单调递增，在1,1)上单调递减，()(1)l m l e ∴>=且()(0)2l m l >=.令ln (),m t m m =21ln ()0,()m t m t m m -'=>∴在(0,1)上单调递增，2ln ()(1)0,22m t m t m∴<=∴+<，故()()20g x f x ax --->. 22.解：（1）曲线22:14x C y +=，直线:220l x y --=， 则曲线C 上点到直线l的距离)1]4d πθ===-+， 当34πθ=时，d最大，此时，(P . （2）曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即222244cos 4sin 3sin 1ρθθθ==++. 设12(,),(,)2A B πρθρθ+，则22212222442016||[,593sin 13cos 15sin 244AB ρρθθθ=+=+=∈+++]. 23.解：（1）当3m =时，()4g x >，即|21||3|4x x +-->.当3x ≥时，不等式化为2134x x +-+>，解得3x ≥. 当132x -≤<时，不等式化为2134x x ++->，解得23x <<. 当12x <-时，不等式化为2134x x --+->，解得8x <-. 综上，不等式的解集为{|8x x <-或2}x >.（2）()|4|g x x ≥-的解集包含[3,5]()|4|g x x ⇔≥-在[3,5]上恒成立|21||||4|x x m x ⇔+--≥-在[3,5]上恒成立.1）当34x ≤≤时，()|4|g x x ≥-恒成立21||+4x x m x ⇔+≥--恒成立3333x x m x ⇔-≤-≤-恒成立，解得39m -≤≤.2）当45x <≤时，()|4|g x x ≥-恒成立|21|||+4x x m x ⇔+≥--恒成立55x x m x ⇔--≤-≤+恒成立，解得513m -≤≤.所以，实数m 的取值范围为{|39}m m -≤≤.。