1
1 x
q
0
dx 当q 1 时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
0 x q dx 0 x dx ln x
1 1
1 q 1
1
1
1 0
,
, q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 ,q1 0 x 1 q 0 1 q 1 因此当q 1时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1时广义积分发散.
2
x 1 x
2

dx =____；
5、广义积分
1
xdx 1 x
2
________；
f ( t )dt
0
6、广 义 积 分

x

的 几 何 意 义 是
______________ ________________________.
二、 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算 广义积分的值： dx pt ( p 1) ； 2、 1、 e cosh tdt 0 x 2 2 x 2 ； 3、 0
练 习 题
一、填空题： 1、广义积分 散； 2、广义积分 散； 3、广 义 积 分 _______ 时发散；
4、广义积分


dx x
p
当_______时收敛； 当______时发
1
1
dx x
q
当_______时收敛； 当_______时发
0


dx x (ln x )
k
在 ______ 时 收 敛 ； 在
a
(b a )

x

f ( t )dt .
练习题答案
一、1、 p 1, p 1 ；2、q 1 , q 1 ； 3、k 1 , k 1 ； 4、发散； 5、1； 6、过点 x 平行于 y 轴 的直 线左边,曲线 y f ( x ) 和 x 轴 所围图形的面积 . p n 二、1、 2 ； 2、 ； 3、 ! ； 4、发散； p 1 2 n 5、2 ； 6、0； 7、( 1) n! . 3 1 1 k k 1 时收敛于 ( b a ) ； 当k 1 时发散. 三、当 1 k 0 , x 0 1 x 2 四、 f ( t )dt x , 0 x 2 . 4 x 1 , 2 x
.
故原广义积分发散.
思考题
积分 0
1
ln x x 1
dx 的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分 0
lim
x 1
1
ln x x 1
dx 可能的瑕点是 x 0,
1 x 1,
x 1
ln x x 1
lim
x 1
x 1 不是瑕点,

1
ln x x 1
0
dx 的瑕点是 x 0.

x e
n
x
dx （ n 为自然数 ） ；4、
2
dx (1 x )
2
；
0
5、 7、
2
xdx x 1
1 n 0
；
6、
1


x ln x (1 x )
2 2
dx ；
0

ln xdx .
b
三、 求 当 k 为何值时 ， 广义 积分
dx
k
( x a) 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？ 0 , x 0 1 四、 已知 f ( x ) x , 0 x 2 ，试用分段函数表示 2 1 , 2 x
例7 计算广义积分 解

2
dx x ln x
2
.
1
1
2
dx x ln x
2
lim
dx x ln x
0 1
lim
0
d (ln x ) ln x
0 1
lim ln(ln x )1
2
0
lim ln(ln 2) ln(ln( 1 ))
三、小结
无穷限的广义积分
f ( x )dx

f( x )dx
b
无界函数的广义积分（瑕积分）a f ( x )dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
f ( x )dx
例 6 证明广义积分