2021中考数学专题训练——圆 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是 ( )A.3 cmB.6cmC. 2.5cmD.5cm答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=21BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm.连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5.∴CE=8 cm.∴BC=54 cm.又∵OF ⊥BC,∴CF=21BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D.2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则 ( )A.DE=EBB. DE=2EBC.3DE=DOD.DE=OB答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB,∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB,∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC,∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D.3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ .答案 52°解析 由题意得∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=116°-64°=52°.4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O于D,E 两点,过点D 作直径DF,连接AF,则∠DFA=________ . 答案 30°解析 ∵点C 是半径OA 的中点,∴OC=21OA=21OD, 又∵DE ⊥AB,∴∠CDO=30°,∴∠DOA=60°,∴∠DFA=21∠DOA=30°.5.(2018嘉兴、舟山,14,4分)如图,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D 在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为________cm.答案 335 解析 连接OC,OD,∵C 是☉O 的切点,∴CO ⊥CE 且CO ⊥AD,设CO 交AD 于H,则AH=HD=21AD=5 cm, ∵∠DOB=60°,∴∠AOD=120°,∴∠AOC=60°,∴AO=CO=3310 cm,OH=335 cm, ∴CH=335cm,即直尺的宽度为335 cm.6.(2017湖州,12,4分)如图,已知在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径作半圆O,交BC 于点D.若∠BAC=40°,则弧AD 的度数是_____度.答案 140解析 ∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠B=∠C=70°,∴ 的度数为2×70°=140°7.(2019杭州,23,12分)如图,已知锐角三角形ABC 内接于☉O,OD ⊥BC 于点D,连接OA.(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=12OA;②当OA=1时,求△ABC 面积的最大值; (2)点E 在线段OA 上,OE=OD.连接DE,设∠ABC=m ∠OED,∠ACB=n ∠OED(m,n 是正数).若∠ABC<∠ACB,求证:m-n+2=0.解析 (1)①证明:连接OB,OC.因为OB=OC,OD ⊥BC,所以∠BOD=12∠BOC=12×2∠BAC=60°, 所以∠OBD=30°,所以OD=12OB=12OA. ②作AF ⊥BC,垂足为点F, 所以AF ≤AD ≤AO+OD=23,等号当点A,O,D 在同一直线上时取到. 由①知,BC=2BD=3, 所以△ABC 的面积=12BC ·AF ≤12×3×23=343, 即△ABC 面积的最大值是343. (2)证明:设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.因为△ABC 是锐角三角形,所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,即(m+n)α+β=180°.(*)又因为∠ABC<∠ACB,所以∠EOD=∠AOC+∠DOC=2m α+β.因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,所以2(m+1)α+β=180°.(**)由(*) (**),得m+n=2(m+1),即m-n+2=0.8.(2018温州,22,10分)如图,D 是△ABC 的BC 边上一点,连接AD,作△ABD 的外接圆,将△ADC 沿直线AD 折叠,点C 的对应点E 落在弧BD 上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos ∠ADB=13,BE=2,求BC 的长. 解析 (1)证明:由折叠的性质可知,△ADE ≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC,∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(2)如图,过A 作AH ⊥BE 于点H,∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB.∵∠AEB=∠ADB,cos ∠ADB=13, ∴cos ∠ABE=cos ∠ADB=13,∴AB BH =13,∴AB=3. ∵∠CAB=90°,AC=AB,∴BC=22AC AB =23.考点二 与圆有关的位置关系1.(2019杭州,3,3分)如图,P 为☉O 外一点,PA,PB 分别切☉O 于A,B 两点,若PA=3,则PB= ( )A.2B.3C.4D.5答案 B 连接OA,OB,OP . ∵PA,PB 分别切☉O 于A,B 两点,∴OA ⊥AP ,OB ⊥BP .∵OA=OB,OP=OP ,∴△OAP ≌△OBP(HL),∴PB=PA=3.故选B.2.(2019台州,7,4分)如图,等边三角形ABC 的边长为8,以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则☉O 的半径为 ( )A.2 B.3C.4D.4-3答案 A 设☉O 与AC 的切点为E,连接AO,OE,∵等边三角形ABC 的边长为8,∴AC=8,∠C=∠BAC=60°,∵☉O 分别与边AB,AC 相切,∴∠BAO=∠CAO=21∠BAC=30°, ∴∠AOC=90°,∴OC=21AC=4, ∵OE ⊥AC,∴OE=23OC=32, ∴☉O 的半径为32,故选A.3.(2019温州,14,5分)如图,☉O 分别切∠BAC 的两边AB,AC 于点E,F,点P 在优弧(EDF)上.若∠BAC=66°,则∠EPF 等于______ 度.答案 57解析 连接OE,OF,则四边形OEAF 中,∠OFA=∠OEA=90°,∠A=66°(已知),∴∠FOE=180°-66°=114°,∵P 在☉O 上,∴∠EPF=2FOE ∠=57°. 4.(2019宁波,17,4分)如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,点D 在边BC 上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的☉P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为_______ .答案 6.5或313解析 ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,CB=BD+CD=18,∴AB=221812+=613.在Rt △ADC 中,∠C=90°,AC=12,CD=5,∴AD=22CD AD +=13.①当☉P 与BC 相切时,点P 到BC 的距离为6.过P 作PH ⊥BC 于H,则PH=6. ∵∠C=90°,∴AC ⊥BC,∴PH ∥AC.∴△DPH ∽△DAC,∴DA PD =AC PH ,∴13PD =12PH ,∴PD=6.5, ∴AP=6.5.②当☉P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6.过P 作PG ⊥AB 于G,则PG=6.∵AD=BD=13,∴∠PAG=∠B,又∠AGP=∠C=90°,∴△AGP ∽△BCA,∴AB AP =ACPG . ∴136AP =126, ∴AP=133.③∵CD=5<6,∴半径为6的☉P 不能与△ABC 的AC 边相切.综上所述,AP=6.5或133.5.(2019温州,22,10分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,点E 在BC 边上,且CA=CE,过A,C,E 三点的☉O 交AB 于另一点F,作直径AD,连接DE 并延长交AB 于点G,连接CD,CF.(1)求证:四边形DCFG 是平行四边形;(2)当BE=4,CD= AB 时,求☉O 的直径长. 解析 (1)证明:连接AE,∵∠BAC=90°,∴CF 为☉O 的直径,∵AC=EC,∴CF ⊥AE.∵AD 为☉O 的直径,∴∠AED=90°,即GD ⊥AE,∴CF ∥DG.∵AD 为☉O 的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB ∥CD,∴四边形DCFG 为平行四边形.(2)由CD=83AB,可设CD=3x,AB=8x,∴FG=CD=3x. ∵∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE ∥CF,∴EC BE =GF BG =32. 又∵BE=4,∴CE=6,∴BC=6+4=10,AC=6,∴AB=22610 =8=8x,∴x=1.在Rt △ACF 中,AF=3,AC=6, ∴CF=2263+=3 ,即☉O 的直径长为53.6.(2019衢州,21,8分)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,以AC 为直径作☉O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AB,垂足为E.(1)求证:DE 是☉O 的切线;(2)若DE=3,∠C=30°,求弧AD 的长. 解析 (1)证明:连接OD.∵OD=OC,∴∠C=∠ODC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴OD ∥AB,∴∠ODE=∠DEB.∵DE ⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即DE ⊥OD,∴DE 是☉O 的切线.(2)连接AD,∵AC 是直径,∴∠ADC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD,∴∠OAD=60°,∵OA=OD,∴△AOD 是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DE=3,∠B=30°,∠BED=90°,∴CD=BD=2DE=23,∴OD=AD=tan 30°·CD=33×23=2, ∴AD ︵的长为18026•π=32π.7.(2018金华,21,8分)如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC,AB 相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD 是☉O 的切线;(2)若BC=8,tan B= ,求☉O 的半径. 解析 (1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt △ACD 中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°,∴OD ⊥AD,∴AD 是☉O 的切线.(2)设☉O 的半径为r.。