2020届高三数学12月月考试题必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2.已知复数z 满足32,z i i ⋅=-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是________.3. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则当0x <时，()f x =________.4. “”是“直线，垂直”的 条件．5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .6.已知，，则______7. 已知实数，满足则的取值范围是 ． 8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是． 10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC ∠的值为．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ，满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为．13．已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是． 14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围． （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．（2）函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上规划在小路MN与AP的交点与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；设，求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E 经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．19．已知函数21(),()1xx f x g x axe +==-（a R ∈）． （1）求函数()f x 的极值；（2）当102a <<时，判断方程()()f x g x =的实根个数，并加以证明；（3）求证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立．20. 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数理科附加题（满分40分 时间30分钟）21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B 、C 和D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．23.现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 ** ………………… 第2行 *** ………………… 第3行 …………… …………………* *…………** ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ．（1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．答案1. 4；2. 2+3i -；3.1；4. 充分不必要；5.；6.10-； 7.；8. 8； 9.8π；10.；；12.15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；可得点P的轨迹方程为圆:H222(8)(4)x y R+-=，则圆H与正方形的四边有公共点．13.23；332222224224224()23(4)38210161610x yxy xy x y xy y xx yx y x y x x y yy x+++==⨯++++++2434()2x yy xx yy x+=⨯++令4(0)x y xty x y=+>，则4t≥，原式23323222344tt tt=⨯=≤=+++．也可直接换元后求导．14.1 2 -15. （1）若是真命题，则．因为，所以．若为真命题，则方程有实根，所以，即或．当且为真命题时，或．故当“且”为假命题时，的取值范围为．（2）由，得，所以．由于，得，所以．由是的充分不必要条件，知，则解得．故的取值范围为．16．解：（1）由题意得：3327212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：256ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩又sin02sin42A BA Bπ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22AB=⎧⎨=⎩∴5()2sin(2)26f x xπ=++由5222,262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈，解得：2,36k x k k Zππππ-+≤≤-+∈∴函数()f x单调增区间为2[,]() 36k k k Zππππ-+-+∈；（2）∵5()2sin(2)206f x xπ=++=∴5sin(2)16xπ+=-∵(0,]x π∈∴55522666x ππππ<+≤+∴53262x ππ+=，解得：3x π= ∴函数()f x 在(0,]π内的零点为3π． 17.解：在中化简得：则，，答：小路ON 段的建造费用为3万元． 由正弦定理得：则，设小路AO 段与ON 段的建造总费用为， 则，， ，若满足，且，列表如下：，答：当，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18.解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以a =2，从而，故椭圆的方程为． （2）设点M （x 0，y 0）（0＜x 0＜2，0＜y 0＜1），C （m ，0），D （0，n ）， 因为A （-2，0），且A ，D ，M 三点共线，所以，解得， 所以， 同理得， 因此，=，因为点M （x 0，y 0）在椭圆上，所以，即，代入上式 得：．∴四边形ABCD 的面积为2． 19. 解：（1）∵1()x x f x e +=∴'()xxf x e -= 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减 所以当0x =时，函数()f x 存在极大值(0)1f =，无极小值；（2）令21()()()1xx h x f x g x ax e +=-=+-，12'()22x x xe x a h x ax ax e e-=-+=⋅ ∵102a <<，∴112a >，即1ln 02a >，令'()0h x =，解得0x =或1ln2x a= 当(,0)x ∈-∞时，'()0h x >，()h x 单调递增；当1(0,ln)2x a∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当时1(ln,)2x a∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增又(0)0h =，1(ln )(0)02h h a <=，210h a =+-=>（1ln 2a <）， 函数()h x 在R 上连续，所以()h x 有一个零点0，且在1(ln2a 上有一个零点，即函数()h x 有两个零点∴当102a <<时，方程()()f x g x =的实根个数为2个；（3）方法（一）由（2）知，即证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()0h x ≥恒成立．∵1a ≥ ∴1lnln 22a≤- ①当1ln12a ≤-，即2ea ≥时，则(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 单调递减；(0,,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增∴min ()(0)0h x h ==∴当1x ≥-时，()0h x ≥恒成立； ②当11ln02a -<<，即12e a ≤<时，则1(1,ln )2x a ∈-时，'()0h x >，()h x 单调递增；1(ln ,0)2x a∈'()0h x <，()h x 单调递减；(0,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增∴min ()min{(0),(1)}h x h h =-∵(0)0,(1)10h h a =-=-≥∴当1x ≥-时，()0h x ≥恒成立；综上：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，()0h x ≥恒成立，即不等式()()f x g x ≥恒成立． 方法（二）由（2）知，即证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()0h x ≥恒成立．①在0x ≥时，∵1a ≥∴11022a <≤ 又0x ≥，1xe ≥得：'()0h x ≥， ∴()h x 为在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h ≥=； ②在10x -≤≤时，由于1a ≥，所以2211ax x -≥-要证明()0h x ≥成立，即证2110x x x e ++-≥，也即证1(1)[1]0x x x e++-≥ 由于10x +≥，只需证110x x e+-≥ 不妨令1()1x m x x e=+-，11'()1x x x e m x e e -=-=由10x -≤≤，得'()0m x ≤且不恒为0，所以()m x 在区间[1,0]-上单调递减，()(0)0m x m ≥=，从而110xx e +-≥得证． 综上，当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，()0h x ≥恒成立，即不等式()()f x g x ≥恒成立．20.解：（I ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =且'0()0f x =即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩ 解得013,24x a ==- 因此，当3x y ()4a f x =-=时，轴为曲线的切线（II ）当{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点{}55x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故是{}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是的零点x (0,1)g()10.f x nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数2i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调15f (0),(1),f a f 44f a =+≤≥所以当a -3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点()30,f ()0ii a x -<<若则在（0,1）中()f x f x ==当取得最小值，最小值为30.0,()43f a f ()(0,1)431530,3,(0),(1)4444f a f x x f a f f a a >-<<<-<<-==+<<-①若即在（0,1）无零点；②若即=-则在有唯一零点③若即由于5()f ()(0,1).4f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3<a -时，在有一个零点综上，当3535a a<-()a a h()4444h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44a x -<<-当时，有三个零点21.B 解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴2243a a -=-⇒=.（2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为 223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=----令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4.当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21.C 解：（1）2sin 306ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，3sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为330x +-=，2cos 2sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=． （2）在330x -=中，令0y =得()3,0P ，∵3k =，∴倾斜角56απ=，∴l 的参数方程可设为53cos 6 50sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即3)32 1(2x t y t t ⎧=-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数， 代入224x y +=得23350t t -+=，70∆=>，∴方程有两解，1233t t +=，1250t t =>，∴1t ，2t 同号， 12PA PB t t +=+1233t t =+=．22.解：（1）记“该游客游览i 个景点”为事件A i ，则i =0，1； 所以， ；所以该游客至多游览一座山的概率为 ；（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4； 计算， ， ，， ，所以X 的概率分布为：数学期望为；答：X 的数学期望为．23.解：（1）由题意知p 2＝2A 错误!未指定书签。