5.1 数理统计基础知识
数理统计方法：以概率论为基础，对大量的偶然现象的统计资料进行分析研 究，得出这种现象概率的规律性，给与科学的解释 数理统计方法，是以样本为依据，运用数学模型来推断总体的一门科学

5.1.1 总体和样本

总体(母体)——研究对象的特征表征量的全体 样本(子样)——从总体中抽取出来的一部分样品x1、x2、……、xn的测量值 样本容量——样本中的样品个数(n)，即样本的大小； n>30 ——大样本 一组数据——表征自总体中随机抽出的一组样本 用样品的分析结果说明被研究对象的整体——用样本说明总体(母体) 分析学：以样品的分析结果说明被研究对象 统计学：以样本的分析结果说明总体
df＝n－1＝19，查t表得： tα (19)＝1.729 ∵t = 2.23 ＞ tα (19) =1.729，故拒绝μ ≤μ 0的假设 结论为目前该土壤中铀含量的水平显著地大于以往的本底水平 （1－α ）＝95％ ②两总体均值之差等于一已知值和两总体均值相等的统计检验 常用来比较不同条件下的两组测量数据之间是否存在差异。 ▪μ检验法（总体方差已知） [例3] 茶叶样Ⅰ、Ⅱ中90Sr的含量：XⅠ＝66.64Bq/kg，nⅠ＝4；XⅡ ＝66.6Bq/kg,nⅡ＝6；已知两样本标准都和总体标准差σ ＝ 0.061无显著差别。 问：Ⅰ、Ⅱ号茶叶中90Sr是同一种茶叶分别装在两个瓶里，还是两 种不同的茶叶样（α ＝0.05） 解： 原假设H0：μ 1＝μ 2 (双侧检验) ∵σ 总体已知且不变，∴两平均值差的方差为
X
(2) 正态分布（Gauss分布）
P x
1 e 2

实验的随机差通常服从此分布 2 1 x P(x)
2
x u
标准正态分布
1 P x e 2 2
2
μ ——曲线最高点对应的横坐标值 测值的集中趋势 σ ——测值的离散特性（大 精密度差，分散，小 精密度高） μ ——正态分布中以σ 为单位的离均差（x－ μ ） N(μ ,σ ) N(0,1)
(4) 统计量t及其分布（学生分布） 英化学家Gosset用student
①测定次数有限，其随机误差不完全服从N(μ ,σ 2)，而是服从类似正态分布的t 分布
统计量
t
x 0 Sx

x 0 S n
自由度为1、5及∞ 的t分布
②t与置信概率和自由度df＝n－1有关，其数值称为置信因子t。 ③当df ∞，t＝u，两分布曲线一致。 ④小样本时，t用来检验μ ＝ μ 0的假设——单总体t检验，查表临界值tα
5.1.2 数据的特性及其分布 环放监测数据特性：①具有一定分散性（不可能完全相同） ②具有集中性的趋势 常遇到的三种分布： （1）泊松分布（浦阿松分布）：离散型变量的一种分布 x p(x)
P x

x!
e
P(x)——计数x出现的概率 μ ——泊松分布的均值(数) μ ＞16时，泊松分布 正态分布 σ 2 ＝μ σ ＝ √μ
5 放射性测量数据的统计分析
放射性测量的对象——放射性物质 放射性物质的衰变是一种随机过程，每个原子的衰变是完全独立的，是无法预 测的 严格地说，并不存在“真正的”或“准确的”衰变率，只能应用统计学的方法 来估 计在一段时间内最可能发生衰变的放射性原子数目 环境放射性水平低，常受到本底的干扰，使得环境监测数据的处理更为复杂
⑤小样本时，t也可用来检验μ 1＝ μ 2的假设——双总体t检验
t
x1 x2
2 2 n 1 S n 1 S 1 1 2 211 n双总体u检验、双总体t检验都是以σ 1 ＝ σ 2为前提条件
(5) 统计量 X2及其分布
• X2分布的总体平均值或期望值为n－1，总体标准差为
2 X 2 n 1 S 2 0 若各Xi的σ i相等，即σ i ＝ σ 0则有 ③•检验在σ 已知的特定实验中得到的S值究竟是合理还是例外。 •检验一组n个观测值是否和正态分布或其他分布一致。 ④ 查表，临界值X2α
2 n 1 。
(3)对数正态分布
P lg x
1 2 lg x
e

1 lg x lg x 2 2
检验方法：在正态概率纸或对数概率纸上作图，看能否得出一条直 线。 (4)正态分布特征量与样本特征量 总体平均值μ ——正态变量x的集中性 样本均值x——μ 的估计值 总体标准差σ ——正态变量x的离散程度 2 样本标准差S——σ 的估计量 X
(3)实例
①总体均值与一已知值相等的统计检验 检验方法: u ,t 检验法 测量值均值＝已知值？
▪μ 检验法（已知真值，已知总体方差） [例1] 已知：土壤中239Pu含量（μ 0）4.47Bq/g，n＝5次测量均值x=4.364Bq/g，
试分析是否存在系统误差？取α ＝0.05 原假设H0 ：“μ 是否等于μ 0” 双侧检验 n 0.108 5 查U表 U0.025＝1.96 U＝2.19＞1.96，∴否定原假设H0 μ ≠4.47Bq/g，该分析中存在系统误差（1－α ）＝95％
x
∴x估计μ (x=μ )
n
多次测量的平均值比一次测量值更精确
(2) 样本标准差S的概率分布
①通常S2＝σ 2，S=σ ②标准差的标准差:σ σ ＝σ /√2n 若X～N(μ ,σ 2)，则S～N(σ ,σ 2/2n)。当n较大时，可把S当作σ 的估计值
(3)统计量u及其分布
①若总体～N(μ ,σ )，X～N(μ ,σ /√n) 作出统计量：
u
x 0

4.364 4.47
2.19
▪t检验法 (测量的总体方差未知 用样本方差S2来估计总体方差σ2 用t检验) [例2] 已知：土壤中铀含量～N(μ ,σ 2)，以往大量样品分析得到
μ 0＝1.23μ g/g；现取样分析，n＝20个，x＝1.35μ g/g,S＝0.24μ g/g； 现在水平≥以往水平 ？ 试进行显著性检验（取α ＝0.05） 解： 原假设H0：μ ≤μ 0 (单侧检验) x 1.35 1.23 构造统计量： t 2.24 S n 0.24 n
1 Xi n n i 1 1 n x Xi n i 1
n


i

n
n
S
X
i
x

2
n 1
5.1.3 统计量及其分布 统计量——由样本数据构造出来的随机变量，如样本特征量x， S 由x， S构造的新量也是随机变量 由样本 总体的估计：建立相应的统计量 统计量本身的分 布 确定统计量超出某个限值或临界值的概率 提出各种统 计假设的检验方法 对于正态分布N(μ ,σ )来说，常用的统计量：x、S、u、t、ⅹ2、F 其中x、S是样本特征量， u、t、ⅹ2、F是新构造出的统计量 (1) 样本均值x的概率分布 ①若x～N(μ ,σ 2) x1、x2„„ X～N(μ ,σ 2/n) ②n＞30的大样本，不管总体是何分布， X～N(μ ,σ 2/n) ③样本均数分布的均数等于原总体的分布μ ④样本均数分布的标准差σ 被√n 除所得的商：
5.1.4 统计检验
先假设某一种总体具有某种参数或遵从某种分布等统计特性， 然后再检验这个假设是否可信，这种方法称为统计检验，或统计 假设检验。 例：某测量装置检修前后的两组本底；年均值m1，m2；有无变化？ m1，m2 ～两个泊松分布的总体，假设m1－m2 ＝0；采用样本来推 断是否抛弃该假设。
Lc —— 判断限 犯两类错误的示意图 LD —— 探测限 LQ —— 测定限
③统计检验分为单侧检验和双侧检验
单侧检验——专门检查μ 是否显著地大于(或小于)μ 0，其否定为μ ＞μ 0 ( 或μ ＜μ 0 ) 双侧检验——只关心μ 是否等于μ 0 ，其原假设为μ =μ 0，否定假设为μ ≠μ
0
④常用α 及时对应的Uα 值和Uα /2值 α ＝0.05 U0.05＝1.64 U0.025＝1.96 α ＝0.01 U0.01＝2.33 U0.005＝2.58 (2) 显著性检验与显著性水平 ①显著性检验——只提出一个原假设H0，不提备用假设 U≥Uα ,拒绝H0； U＜Uα ，无显著性差异，不适宜否定H0 ②显著性水平——上述犯第一类错误的概率α ③用途 关于总体参数的检验 关于分布类型的检验（“吻合度”检验） ④（1－α ）称为置信水平，表示可以有多大的把握去否定一个假 设
①
②X2由正态分布导出的一个重要的抽样分布，
具有以下重要特征：
xi x X i 1 i
2 n
2 服从自由度 df＝n－1的X2 分布
• X2无定值， X2所取值自0——∞；
•分布曲线左右不对称，呈左偏； • X2分布曲线随自由度df而变化。 随自由度逐渐增大，曲线渐趋对称；
•t检验法(总体方差未知)，σ 12与σ 22未知，只能用S12和S22估计之
[例4] 例2中,X=1.23μ g/g，S＝0.25μ g/g，n＝22个，试进行显著性检验(取α ＝0.1，双测检验) [解] 构造统计量：
t
1.35 1.23
22 1 0.25 20 1 0.24
x x
1
2


2
n1

2
n2
0.0394
u
x1 x2

66.64 66.68 0.04 1.02 0.0394 0.0394 1 1 n1 n2
令α ＝0.05，查μ 表得：μ 0.05/2 = 1.96。μ ＜1.96故接受原假设。无显著性差 别，没有理由认为两样本不是同一种。
u
x 0

n
② u～N(0,1) ③对于大样本，用来检验u＝u0的假设，单总体u检验 ④临界值Uα ，置信水平1－α ，在正态分布 函数表上可查出对应于α 的Uα