证明 b|a|为 p 阶f 为 G1 到 G2 的同态当且仅当
f:G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y)
实例:
(1) 整数加群<Z,+>的自同态：
fc(x)=cx，c 为给定整数
(2) 模 n 加群<Zn,>的自同态：
fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n-1
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同态性质的证明
证明 （1）kerf⊴ G1 （2）a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf
证： （1）显然 kerf 非空. a,bkerf,
f(ab-1) = f(a)f(b)-1 = e2e2-1=e2 ab-1kerf kerf 为 G1 的子群，下面证明正规性.
第六节 正规子群与商群
正规子群及判定 定义 判别定理 判别法
商群 定义及其实例 性质
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商群的性质
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等.
例 1 G 为有限 Abel 群，|G|=n, p | n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质.
fx：GG, fx(a)=xax-1
关系： EndG 为独异点 AutG 为群 InnG 为 AutG 的正规子群 IG=fe 属于 InnG
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gG1, akerf, f(gag-1) = f(g)f(a)f(g-1)= f(g)f(g-1) = f(e1)=e2 （2）f(a)=f(b) f(a)–1f(b)=e2 f(a-1b)=e2 a-1bkerf akerf=bkerf
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自同态与自同构
EndG：G 的自同态的集合 AutG：G 的自同构的集合 InnG：G 的内自同构的集合
(3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,G1 到 G2 的满同态
f:ZZn, f(x)=(x)modn 说明：将群看成代数系统<G, o,-1,e>，则同态 f 满足：
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f(e1)=e2 ，f(x-1)=f(x)-1
同态映射的性质
同态保持元素的性质 f(e1)=e2，f(x-1)=f(x)-1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下，|f(a)| = |a|
归纳步骤. 假设 m<n 为真，证明对于 n 为真. 设|G|=n, 取 aG, ae, 寻找 p 阶元.
① p 整除|a|, 则 a|a|/ p 为 p 阶元. ② p 不整除 |a|, 令 H=<a>, 构造 G/H, |G/H|=m, p 整除 m.
G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p=H bpH bp=at
同态保持子代数的性质
H G1 f(H) G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2 同态核的性质, kerf = {x | xG, f(x)=e2} kerf={e1} f 为单同态 kerf⊴G1，a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf 同态基本定理 （1）H 为 G 的正规子群，则 G/H 是 G 的同态像 （2）若 G’为 G 的同态像（f(G)=G’），则 G/kerf G’.