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高考数学必刷题
数学试卷（理科）
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应
的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .
2．如果22sin 3α=-
，α为第三象限角，则3sin()2
π
α+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.
6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .
7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3
米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．
9．已知圆的方程是1)1(2
2
=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．
10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271
>∈=--n n a a n n n
N ，则当n a 取得最小值时n 的值是 ．
11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分
别为21,d d ，则=+21d d ___ .
12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有3
3
)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .
13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:
2213=+ 23135=++ 241357=+++
3235=+ 337911=++ 3413151719=+++
根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .
14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与
{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：
（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；
（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． 给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2
(1)3
n n S n =
-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5；
③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.
具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．非零向量b a ,，m a =||，n b =||，若向量b a c 21λλ+=，则||c 的最大值为（ ）
A ．n m 21λλ+
B ．n m ||||21λλ+
C ．||21n m λλ+
D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =
∈+,其前n 项和9
10
n S =,则双曲线
22
11x y n n
-=+的渐近线方程为 （ ）
A ．3y x =±
B ．4y x =±
C ．10y x =±
D ．3
y x =±
17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 （ ）
A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.
C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
18．在平面斜坐标系xoy 中0
45=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 12MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）
A B C D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）
已知函数()sin f x m x x =+ ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；
（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，π
π()()sin 44
f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的
边分别是a ，b ，求
b
a 1
1+的值．
20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|
2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．
21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与
OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平
台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是
220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标
为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度
单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求z 的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK 面积
MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面
积的最小值
22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y
N a b
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求MON ∠tan 的最大值；
（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.
23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈． （1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．
① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；
② 若数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．。