集合间的基本关系
【学习目标】
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn 图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。
1．一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊆)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)。
2．如果集合A 是集合B 的子集(A B ⊆)，且集合B 是集合A 的子集(B A ⊆)，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =．
3．如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊆ (或B A ⊆)。
4．不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
【学习过程】
写出给定集合的子集
【例1】（1）写出集合{012}，，的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； （2
由此猜想：含n 个元素的集合{}12,,,n a a a L 的所有子集的个数是多少？真子集的个数
及非空真子集的个数呢？
解 （1）不含任何元素的集合：∅； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的集合：{0，1，2}。
故集合{0，1，2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。
其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。
这样，含n 个元素的集合{a 1，a 2，…，a n }的所有子集的个数是2n ，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2
规律方法 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。
（2）集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，有(21)n -个真子集，(21)n -个非空子集，(22)n -个非空真子集。
变式迁移1 已知集合M 满足1212{34}{5}M ⊆⊆，，，，，，写出集合M 。
解 由已知条件知所求M 为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。
集合基本关系的应用
【例2】（1）已知集合34{|}A x x =≤≤-，211{|}B x m x m =-＜＜＋，且B A ⊆．求实数m 的取值范围；（2）本例（1）中，若将“B A ⊆”改为“A B ⊆”，其他条件不变，则实数
m 的取值范围是什么？
解 （1）∵B A ⊆，
①当B =∅时，121m m ≤-＋，解得2m ≥．
②当B ≠∅时，有321
14211m m m m --⎧⎪
+⎨⎪-+⎩
＜……，
解得12m ≤-＜， 综上得1m ≥-．
（2）显然A ≠∅，又A B ⊆，∴B ≠∅， 如图所示，
∴21121314m m m m -+⎧⎪
--⎨⎪+⎩
＜＜＞，解得m ∈∅。
规律方法 （1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。
（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。
（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。
变式迁移2 已知25{6|}0A x x x ==－＋，1{|}B x mx ==，若B A ⊆，求实数m 所构成的集合M 。
解 由2560x x -=＋得2x =或3x =． ∴}3{2A =，
由B A ⊆知B =∅或2{}B =或3{}B = 若B =∅，则0m =； 若2{}B =，则1
m 2
=；
若3{}B =，则m 3
1=。
∴11M 0,,23⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。
集合相等关系的应用
【例3】已知集合2{}A x y =，，，22{}2B x y =，，且A B =，求x ，y 的值。
解 方法一 ∵A B =，
∴集合A 与集合B 中的元素相同，
∴22x x y y =⎧⎨=⎩
或22x y y x =⎧⎨=⎩，
解得x ，y 的值为00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或141
2x y ⎧=
⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
验证得，当0x =，0y =时，
A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。
∴x ，y 的取值为01x y =⎧⎨=⎩或141
2x y ⎧
=
⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。
变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，也可表示为20{}a a b ，＋，
，求a ，b ．
解 由集合相等得：0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
，易知0a ≠， ∴
0b
a
=，即0b =，∴21a =且2a a ≠，∴1a =-． 综上所述：1a =-，0b =.
【课堂小结】
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“=”等表示。
2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合{{}{}
01{01}}
B=∅，，，，，则此时{1}B
∈，而不能是{1}B
∈．
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
（1）判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论。
（2）解数集问题学会运用数轴表示集合。
（3）集合与集合间的关系可用Venn图直观表示。
【课时作业】
一、选择题
1．下列命题
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若
A
∅∉时，则A≠∅。
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案B
解析仅④是正确的。
2．已知集合1
{|}2
A x a x a
=≤≤
-＋，35
{|}
B x x
=＜＜，则能使A B
⊇成立的实数a的取值范围是( )
A．}4
|3
{a a≤
＜
B．4
|}
3
{a a
≤≤
C．4
|}
3
{a a
＜＜
D．∅
答案B
解析∵A B
⊇，∴
13
25 a
a
-
⎧
⎨
+
⎩
…
…
∴34a ≤≤．
3．设}2{1B =，，{|}A x x B =⊆，则A 与B 的关系是( ) A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B ∈ D ．B A ∈ 答案 D
解析 ∵B 的子集为{1}，{2}，{1，2}，∅， ∴{|}{{}12{}{}12}A x x B =⊆=∅，，，，， ∴B A ∈．
4．若集合{|}A x x n n ==∈N ，，集合|,2
n B x x n ⎧
⎫==∈⎨⎬⎩
⎭
Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．B A ð B ．A ∁B C ．A B = D ．A B ∈ 答案 A
5．在以下六个写法中：①{}{001}∈，；②{}0∅ð；③011
101{}{}⊆-，-，，，；④0∈∅；⑤{}Z =正整数；⑥{()}00}0{=，，其中错误写法的个数是( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 答案 B 二、填空题
6．满足{012}，，{0,1,2,3,4,5}A ⊆ð的集合A 的个数是________。
答案 7
解析 本题即求集合{345}，，的非空子集个数，共2317=-个。
7．设2{|}{|1}100M x x N x ax ====－，－，若N M ⊆，则a 的值为________。
答案 1±或0
8．若2013{|}{|}x x a a N x x =∈⊆-，-＜＜，则a 的所有取值组成的集合为________________。
答案：012}45{3，，，，， 三、解答题
9．设集合{1,,}A a b =，{}2B a,a ,ab =，且A B =，求实数A 、B 的值。
解：∵A B =且1A ∈，∴1B ∈．
若1a =，则21a =，这与元素互异性矛盾，∴1a ≠． 若21a =，则1a =-或1a =(舍)。
∴{1,1,}A b =-，∴b ab b ==-，即0b =. 若=1ab ，则2a b =，得31a =，即1a = (舍去)。
故1a =-，0b =即为所求。