第十一章 反常积分习题课一 概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ． ⇔()()0,0,,εε+∞∀>∃>∀>-<⎰⎰u aaM u M f x dx f x dx 有⇔()0,0,,εε+∞∀>∃>∀><⎰uM u M f x dx 有2．叙述()baf x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()baf x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰bbuau af x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰bbuaf x dx f x dx ．3． 叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4． 叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二 疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→xx ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dxx 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足()0.2Af x ≥> 于是有()()()uMuaaMf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰， 于是⎰+∞=+∞→uau dx x f .)(lim而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(lim =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dt t f dt t f dt x f x f δ⎰⎰+-≤2121)()()(x x x x dt t f dt t f x f2,22εδδεδ<⋅+≤便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散． 例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx nε+=<⎰． 故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为133301222sin sin sin x x x dx dx dx xxx+∞+∞=+⎰⎰⎰312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则33022sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛． 因为213333010sin 1cos 21cos 21cos 2222xx x x dx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰，311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x++→→-==， 因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散．3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛 ，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证 因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx-在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x -⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点． 1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则sin xx 在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b adx x F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba badx x F dx x f dx x f εεεε0lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]ab -,0上连续，有()()()⎰==+→badx x F G G 0lim 0εε，即()().⎰⎰=babadx x F dx x f 故()⎰badx x f 可看成正常积分。

2）错误，因为111ln lim lim 111x x x x x --→→==---，则ln 1x x -在1x =近旁有界，因此不是瑕点． 注 我们经常通过证()lim x af x +→=∞（()lim x bf x -→=∞）来判断()a b 为f 的瑕点． 例 因为0ln lim 1x xx +→=-∞-，则0x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．4．定积分，无穷积分有什么区别？ 答 1))fx 在[,a b 可积()f x 在[],a b 可积 ()2f x 在[],ab 可积()afx dx +∞⎰收敛|af +∞⎰()2f x dx 收敛2）()()()00,2aa af x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰奇，偶，但对于()+f x dx ∞-∞⎰不一定具有这个性质，因为此时()+f x dx ∞-∞⎰可能发散．3）()f x 在[],a b 可积，则()f x 在[],a b 上有界，但()af x dx +∞⎰收敛不能保证()f x 在[),+a ∞上有界，例如()10,1,21,,2n n x n n n f x n x n n n ⎧⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩，()()001lim 12n n n n n f x dx f x dx n ∞+∞→∞====∑⎰⎰，不仅()lim x f x →+∞不存在，而且()f x 在[)0,+∞上无界．再如⎰+∞14sin dx x x 条件收敛，但4sin x x 在[)1,+∞上无界．5．定积分与瑕积分有什么区别？ 答()baf x dx ⎰收敛（a 为瑕点）()baf x dx ⎰收敛（()2baf x dx ⎰收敛（a 为瑕点）在可积()f x ],b 可积2）()()()()00,2aa af x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰奇，偶，但对于()a af x dx -⎰（a 为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时()aaf x dx -⎰可能发散．3）()f x 在[],a b 可积，则()f x 在[],a b 上有界，但()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛不能保证()f x 在(],a b 上有界．注 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中．5．定积分哪些性质可以平移到反常积分中？答：定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立．若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。