2 2 ∂ 2 Az ∂ Ay ∂ 2 Ax ∂ 2 Az ∂ Ay ∂ 2 Ax = − + − + − =0 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
得证
v ˆ ˆ ˆ 补充题： 补充题：设 R = ( x − x ′) x + ( y − y ′) y + ( z − z ′) z
2.1-2.2 习题解答 P62 2-1 真空中一半径为 a 的圆环，环上均匀分布着线 的圆环， 电荷， 电荷，其线电荷密度为 ρl ，求圆环轴线上任一点处的电 场 P(0, 0, z ) 解： 在带电圆环上任取一小段 dl v 对应的元电荷为 dq = ρl dl R 它在 P(0, 0, z ) 点处引起的电场为 v dq ˆ dq = ρl dl dE = R 4πε 0 R 2 整个带电圆环在 P(0, 0, z ) 点处引起的电场为 v dq ˆ 采用柱坐标系 dq = ρl dl = ρl adϕ E=∫ R 2 v v v 4πε 0 R ˆ ˆ R r − r′ zz − ar
v abU 1 ˆ E= r 2 b−a r
v ˆ ρ Sb = P ⋅ n
ε = ε 0r a
v ε 0bU r − 1 ˆ P= r 2 b−a r
v 1 ∂ 1 ∂ ε 0bU r − 1 ε 0bU 1 ρb = −∇ ⋅ P = (rPr ) = − (r )= ln r 2 r ∂r r ∂r b − a r b−a r
v ∂ϕ ˆ E = −∇ϕ = − r = q (br + 1)e −br r ˆ 2 ∂r r εqb 2 e −br (r ≠ 0) ρ=− r
q ′ 共同作用产生的。即： 共同作用产生的。
S
qe − br 存在， 设 r → 0 处有电荷 q ′ 存在，空间中的场 ϕ (r ) = 是由 ρ 和 r
P26 1-6 证明： 证明：
∇ × ∇f = 0
∂x ∂y ∂z
证明： 证明：∵ ∇ = ∂ x + ∂ y + ∂ z ˆ ˆ ˆ
∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ ∇f = x+ y+ z ∂x ∂y ∂z
∇ × ∇f =
∂f ∂f ∂f ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y+ z) ˆ x+ y + z ×( x + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = x× y + x× z + y× x + y× z + z×x+ z× y ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂x ∂y∂z ∂z∂x ∂z∂y
ˆ ˆ ˆ ˆ x× y = −y× x
ˆ ˆ ˆ ˆ x × z = −z × x
0
r
r = 4πεq(br + 1)e −br − 4πεq (e −br + bre − br ) 0
= 4πεq
2-10 同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为b， 其间填充介电常数 ε = ε 0 r的电介质。已知外导 v 其间填充介电常数 的电介质。 a 体接地， 体接地，内导体的电压为 U 。求（1）介质中的 E v ；（2 介质中的极化电荷分布。 和 D；（2）介质中的极化电荷分布。
v ˆ R R =− 3 =− 2 R R
得证
v 内穿出的通量。 求矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量。
v 3 ˆ + y3 y + z3 z ˆ ˆ A= x x
v 解：矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量可表示为
为：x 2 + y 2 + z 2 = a 2 提示： 提示：利用高斯散度定理求解
r a
Q 4πε 0 r 2
∞
v ˆ r ⋅ dr =
Q 4πε 0 a
Q 4πε 0 r 2
r
r > a ϕ (r ) = ∫ r
v v ∞ v ∞ v E ⋅ dl = ∫ E2 ⋅ dr = ∫
r
v ˆ r ⋅ dr =
Q 4πε 0 r
2-3 用高斯定律求厚度为 d 、体电荷密度为 ρ 的均匀 带电无限大平板在空间各区域所产生的电场。 带电无限大平板在空间各区域所产生的电场。 z 解：如图建立坐标系 ∆S 先求带电平板之外的电场 y 轴对称、高为2 z ( z > d ) 作一关于 轴对称、 2 d 的立方体为高斯面， 的立方体为高斯面，如图所示
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ − ) + y( − ) + z( − )] ˆ ˆ ˆ ˆ ( x+ y+ z ) [ x( ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
∂ ∂Az ∂Ay ∂ ∂Ax ∂Az ∂ ∂Ay ∂Ax ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ( − )x ⋅ x + ( − )y⋅ y + ( − )z ⋅ z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
ˆ ˆ ˆ ˆ y × z = −z × y
∴
∇ × ∇f = 0
得证
v 1-7 证明： ∇ ⋅∇ × A = 0 证明：
ˆ x
ˆ y
∂ ∂y
ˆ z
∂ ∂z
v ∇× A =
∂ ∂x
Ax
Ay
Az
v ∇ ⋅∇ × A =
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay ˆ ˆ ˆ = x( − ) + y( − ) + z( − ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
v v Q 1 ∫ E ⋅ dS = = (∫ ρdV + q ′)
ε
ε
V
于是
q 1 r εqb 2 e − br q′ −br 2 (br + 1)e ⋅ 4πr = ∫ − 4πr 2 dr + ε 0 r ε r2
q ′ = 4πεq (br + 1)e
− br
+ ∫ − 4πεqb 2 re −br dr
S
∫
S
v v A ⋅ dS
利用高斯散度定理， 利用高斯散度定理，则有 ∵ 在直角坐标系中
∫
S
v v v A ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ AdV
V
v ∂Ax ∂Ay ∂Az ∇⋅ A = + + = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 = 3r 2 ∂x ∂y ∂z
v v v a 2 ∴ ∫ A ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ AdV = ∫ 3r dV = ∫ 3r 2 4π r 2 dr = 12 π a 5 0 S V V 5
R =a +z
2 2
2
ˆ R=
R
=R=来自a2 + z 2
v ˆ E=∫ R =∫
=
2π
ρl a dϕ 2 4πε 0 R ρl a
2
ˆ ˆ zz − ar
2
0
4πε 0 (a + z ) a 2 + z 2
dϕ
ρl az
2ε 0 (a + z )
2 2 3 2
2-2 求真空中半径为 a 电量为 Q 的均匀带电球面所 Q 产生的电位、电场强度。 产生的电位、电场强度。 先求电场强度： 解： 先求电场强度：
v ˆ = P⋅n
r =b
=
ε 0bU r − 1
b − a r2
ˆ ˆ r ⋅ (r )
r =b
=
ε 0bU b − 1
b − a b2
2-12 一圆柱形电容器有两层同轴介质，内导体 一圆柱形电容器有两层同轴介质， 半径为1cm, 1cm,内层介质 半径为1cm,内层介质 ε r1 = 3 ，外层介质 ε r 2 = 2 要使两层介质中的最大电场强度相等， 要使两层介质中的最大电场强度相等，并且内层 介质和外层介质所承受的电压也相等， 介质和外层介质所承受的电压也相等，问此两层 介质的厚度各应为多少？ 介质的厚度各应为多少？ 0.5cm，0.46cm 解：设内导体所带电荷用 ρl 等效
v 设通过立方体两底面的电场为 E1
y
x
ρ d ∆S
v E1
∫
S
v v q E1 ⋅ dS =
ρd E1 = 2ε 0
ε0
E1∆S + E1∆S =
1
ε0
方向垂直于带电平板向外
再求带电平板内的电场
d 2 轴对称、 作一关于 y 轴对称、高为 z ( z < ) 2 的立方体为高斯面， 的立方体为高斯面，如图所示
v E=
1 abU 1 ˆ= ˆ r r 2 2πε L r b−a r
q
v v ε 0bU 1 ˆ D = εE = r b−a r
v （2）介质中的极化电荷分布 ρb = −∇ ⋅ P ） v v v v v v v D = ε0E + P P = D − ε 0 E = (ε − ε 0 ) E
1.1-1.6习题解答 1.1-1.6习题解答 补充作业题： 补充作业题： 已知两矢量场分别为： 1、已知两矢量场分别为： v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A = x + 2 y − 3 z; B = 3 x + y + 2 z
v v v v 求： A ⋅ B = ? A × B = ? v v ˆ ˆ ⋅ 3ˆ ˆ ˆ 解：A ⋅ B = x + 2 y − 3 z （ x + y + 2 z = 3 + 2 − 6 = −1 （ˆ ） ）
z
2z
∆S
设通过该立方体两底面的电场 为 v v