§3 n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31
= λ1λ 2 λ 3 λ 4
λ1 λ2
⋰
= ( − 1)
n( n− 1) 2
λ1λ 2 ⋯⋯ λ n
λn
§4
对换
对换 相邻对换 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 先证相邻对换的情形. 证 先证相邻对换的情形 设排列
a1 …… a k abb1 …… bm ,
行列式中的项. 行列式中的项 a 12 a 43 a 31 a 24 = a 12 a 24 a 31 a 43
(− 1)t (2413 ) a 12 a 24 a 31 a 43 a = (− 1)3 a 12 a 24 a 31 a 43 = − a 12 a 24 a 31 a 43
1 1 ⋰ 1 = ( − 1)
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11 a 22 − a12 a 21
于是，线性方组（ ） 于是，线性方组（1）的解可以写为
b1 b2 x1 = a 11 a 21
a 12 a 22 , a 12 a 22
a 11 a 21 x2 = a 11 a 21
b1 b2 a 12 a 22
类似的，我们还可以定义三阶行列式为 类似的，
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22 ⋮ an 2
... a1 n ... a 2 n t ( j1 j 2 ...... jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn ⋮ = ∑ (−1) ... a nn
例 1 下三角行列式
a11 a 21 a 31
0 a 22 a 32
± a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
(−1)
t ( j1 j 2 j 3 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和. 的代数和
三阶行列式可以写成
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 23
a13 t ( j1 j 2 j 3 ) a 23 = ∑ (−1) a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3 a 33
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 13 a 23 = a11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 a 33 − a a a − a a a − a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31
§2 全排列及其逆序数
a11 a12 ⋯ b1 j ⋯ a1n a11 a12 ⋯ c1 j ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ b2 j ⋯ a2n a21 a22 ⋯ c2 j ⋯ a2n = + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ bnj ⋯ ann an1 an2 ⋯ cnj ⋯ ann
把行列式的某行（ 性质 6 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另 一行（ 的对应元素上去，行列式的值不变 一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.
2 × (1) − 3 × (2 )
(+
7 x1 = 14 x1 = 2
7 x 2 = 42
类似地， 类似地，可得 于是
x2 = 6
消元法 线性方程组
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
的两边后,两式相加得 的两边后 两式相加得
0 0 = a 11 a 22 a 33 a 33
例2 下三角行列式
a11 a 21 ⋮ an1
0 a 22 ⋮ an 2
... ... ⋱
0 0
= a11a 22 …… a nn
... a nn
例 3 三阶行列式
λ1 λ2 λ3
= − λ1λ 2 λ 3
例4 四阶行列式
λ1 λ2 λ3 λ4
例5 n 阶行列式
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
( −1) t ( j1 j2 ⋯⋯ jn ) a1 j1 a 2 j2 ...... a njn
2， 的一个排列， 其中 j1 j2 ⋯⋯ jn是 1， ⋯⋯，n 的一个排列， 项的代数和， 项的代数和，
t ( j1 j 2 ⋯⋯ jn )是排列 j1 j 2 ⋯⋯ jn 的逆序数 . 即
例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为 t (３２５１４) ＝０＋１＋０＋３＋１＝ 5 为奇排列. 排列 3 2 5 1 4 为奇排列 例 3 排列 n ( n −1 ) … 3 2 1 的逆序数为
n(n − 1) t ( n (n −1) … 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + … + ( n − 1 ) = 2
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D = ∑ (−1)
t ( p1 p2 ⋯⋯ pn )
a p1 1a p2 2 …… a pn n
排列 53142 经对换1与 经对换 与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 求这两个排列的逆序数 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7 t(53412) = 0+1+1+3+3=8
1 b b2
1 c c2
1 a a2
= 1 b b2
1 c
c2
1 例2 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d d2 d3
=−
a2 a 1 a3
b2 b 1 b3
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
性质 2 的证明 两行,得行列式 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行 得行列式
的某一列（ 性质 5 若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和 ， 则此行列式等于两个行列式之和 . 例如
a11 a 21 ⋮ an1
a12 a 22
⋯ (b1 j + c1 j ) ⋯ a1 n ⋯ (b2 j + c 2 j ) ⋯ a 2 n
⋮ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ (bnj + cnj ) ⋯ ann
n( n− 1) 2
3.
§5 行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等 行列式与它的转置行列式相等. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号 互换行列式的两行（ ），行列式变号. 行列式变号 两行（ 相同的行列式值为零. 推论 两行（列）相同的行列式值为零 行列式的某一行（ 性质 3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 数 k , 等于用数 k 乘此行列式 . 行列式中某一行（ 推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 外面. 外面 性质4 行列式中如果有两行（ 性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列 式等于零. 式等于零
设
记
a11 a12 … a1n D= a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 … ann ,
T
a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 D = , ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2 n … ann
的转置行列式. 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 那么 DT = D
1 例1 a a2
b11 b12 … b1n D1 = b21 b22 … b2 n ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn2 … bnn ,
其中， 其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 当 于是 t( p … p … p … p ) = ∑ (−1) 1 i j n b1 p1 ⋯bipi ⋯b jp j ⋯bnpn D1
排成一列， 阶全排列. 把 1, 2, ……, n 排成一列，称为一个 n 阶全排列 三 阶排列 j1 j 2 j 3 共有3× × 共有 ×2×1=3!个. 个 n 阶排列共有 n!个. ! 在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 一个逆序 逆序. 一个逆序 一个排列中所有逆序的总数. 排列的逆序数 一个排列中所有逆序的总数 逆序数为偶数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列. 奇排列 逆序数为奇数的排列. 逆序数为奇数的排列 称为自然排列，它的逆序数为0 例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为 ， 所以是偶排列. 所以是偶排列
பைடு நூலகம்例1
练习 1. 选择 i 与 k 使 成偶排列; （1）2 5 i 1 k 成偶排列 ） 成奇排列. （2）2 5 i 1 k 成奇排列 ）
2. a 14 a 21 a 33 a 44 和 a 12 a 43 a 31 a 24 是否为四阶行列式中的 项，
若是， 若是，指出应冠以的符号 3.计算 阶行列式 计算n 计算 1 1 ⋰ 1
经对换 a 与 b ,得排列 得排列 那么
a1 …… a k bab1 …… bm ,
t (a1 ……ak bab1 ……bm ) = t (a1 ……ak abb1 ……bm ) ± 1