即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日 需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克， 乳清23.32克。
网络流问题 当科学家、工程师或者经济学家研究一 些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。 例如，城市规划和交通工程人员监控一个网络状的 市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电 路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商 的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的 方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。
线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程
----David C. Lay
❖ 广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学， 生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理， 系统控制，通信，航空等学科和领域。
❖ 应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料 力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、 系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等 课程。
脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙， 因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少 量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪，因而加上 乳清，因乳清含脂肪较少，然而乳清又含有过多 的碳水化合物…
在这里我们把问题简化，看看这个问题小规 模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克 每种食物成分含有某些营养素的数量。
一个网络包含一组称为接合点或节点的点集， 并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流 的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显 示或用变量标记。
网络流的基本假设是全部流入网络的总流 量等于全部流出网络的总流量，且全部流入一 个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于 是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描 述。网络分析的问题就是确定当局部信息（如 网络的输入）已知时，求每一分支的流量。
电路问题
在工程技术中所遇到的电路，大多数是很 复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式 互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件 的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的 会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说， 就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。 对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫 （Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电 路网络部分为例来加以说明。
表1
营养
பைடு நூலகம்
每100克食物所含营养（g） 减肥所要 求的每日
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 营养量
蛋白质
36
51
13 33
碳水化合物 52
34
74 45
脂肪
0
7
1.1 3
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那 么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这 个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的 每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位， 大豆面粉x2个单位，乳清x3个单位，则由所给条 件得
于是，所给问题可以归结为如下线性方程组的求解。
x1 x2
50,
x2 x3 x4 x5 0, x5 x6 60,
b=[0;0;0;0];
[R,s]=rref([A,b]);
r=length(s); disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')
x=null(A,'r')
解之，得其解为
i1 1 0 1
i2
1
1
0
i3 i4
k1
0 1
k2
1 0
k3
1
0
于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方
程组的求解
i1
i4 i6 0,
i2 i4 i5 0, i3 i5 i6 0,
i1 i2 i3
0.
相应MATLAB代码为：dianliu.m
clear
A=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];
设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律 （简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流 之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在 任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的， 流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电 流定律），有
对于节点A： i1 i4 i6 0; 对于节点B： i2 i4 i5 0; 对于节点C： i3 i6 i5 0; 对于节点D： i1 i3 i2 0.
i5
0
1
0
i6 0 0 1
其中: k1,k2,k3 R
由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意
常数应满足以下条件：
k1 0, k2 k3 k1 .
如果 k1 1, k2 3, k3 2, 则：
i1 1, i2 2, i3 1, i4 1, i5 3,i6 2.
交通流问题
图3-3给出了某城市部分单行街道在一个 下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。 计算该网络的车流量。
由网络流量假设，有 对于节点A： x2 30 x1 80; 对于节点B： x3 x5 x2 x4; 对于节点C： x6 100 x5 40; 对于节点D： x4 40 x6 90; 对于节点E： x1 60 x3 20.
线性方程组的应用
剑桥减肥食谱问题
一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为 剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是 由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过 8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学 完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了 碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维 生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所 希望的数量和比例的营养，Howard博士在食 谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所 需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，
5326xx11
51x2 34x2
13x3 74x3
33, 45,
7x2 1.1x3 3.
MATLAB代码如下：Untitled2.m clear; A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]; b=[33;45;3]; U=rref([A,b])
解上方程组得，解为
x1 0.2772, x2 0.3919, x3 0.2332.