理工实验班选拔考试卷标准格式1．设函数1221,0(),,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是 （ D ）(A)（－1，1）(B)（－1，+∞）(C)（－∞，－2）∪（0，+∞）(D)（－∞，－1）∪（1，+∞）2．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（ A ） 3．若x x x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 （ A ）(A) 21 (B)－21(C)2(D)－2(A)a <b (B)a >b (C)ab <1(D)ab >24．已知曲线C 的方程为1||2+=x x y ，则曲线C 的大致图象是( D )5．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若α//a ，α//b ，则b a //。
（2）若α//a ，β//a ，则βα//。
（3）若γα⊥,γβ⊥，则βα//。
其中正确的个数是 （ A ） (A)0． (B)1． (C)2． (D)3．6．在等1．设22+-=z z z f )(，且),()(R y x yi x i f ∈+=+1，则)(i f -1等于( D )(A)yi x +(B)yi x -- (C)yi x +-(D)yi x -差数列7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按910毫升／秒２的匀加速自动注水(即t 分钟自动注水22t 升).当水箱内的水量达到最小值时，放水程度自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 （B ） (A)3人洗浴 (B)4人洗浴 (C)5人洗浴 (D)6人洗浴 8.｛ａｎ｝中，ａ１＝251，从第10项开始比1大，记t S a n n n n =+∞→)(1lim 2，则t 的取值范围是（ ）(A)754t (B)253758≤t (C)253754 t (D)503754≤t （A ） （B ） （C ） （D ）9．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 （ B ） (A)是锐角三角形 (B)是直角三角形 (C)是钝角三角形 (D)不存在 10．已知'(3)2,32,f f 则323()lim3xx f x x 的值为( C )(A) －4 (2)0 (C)8 (D)不存在11．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，过点E 作一条直线与直线A 1D 1和AB 都相交，则这样的直线 ( C ) (A) 有三条 ( B ) 有两条 (C ) 仅有一条 ( D ) 不存在12.已知A 箱内有红球1个和白球(n +1)个，B 箱内有白球(n -1)个（ｎ∈Ｎ*，且ｎ≥２）．现随意从A 箱中取出3个球放入B 箱，将B 箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A 箱，则红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱中的概率等于 ( C ) (A)D.1 2)(n 9C. 2n 3B. 122+++n 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥600y x y x 表示的平面区域内的整点（横纵坐标均为整数的点）的个数为___________个。
14．在某次数学考试中，学号为)4,3,2,1(=i i 的同学的考试成绩}93,90,88,87,85{)(∈i f ，且满足)4()3()2()1(f f f f <<≤，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 ________种．15．仓库有一种堆垛方式，如图（3）所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12 盒，第四层20盒，……请你写在堆放层数n a 与盒数n 的一个关系 .16．直角三角板在平面α上的射影可以是________________________(写出所有你认为可能情况的序号)． ①一点 ② 线段 ③ 直角三角形 ④锐角三角形 ⑤钝角三角形 三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(6分)已知AB AB AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅+⋅+⋅，试判断ABC ∆的形状18．(5分)一批零件有5个合格品及2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出的次品不再放回去，已知取得合格品之前取出的次品数为ξ，求 (Ⅰ)ξ的概率分布； (Ⅱ)E ξ.19．(9分)如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．(8分)已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，1)21(-=f 且满足,(1,1)x y ∈-有)1()()(xyyx f y f x f ++=+．（1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（2）对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ； （3）求证.252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n21．(8分)设3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间。
22．(10分)点P （x ，y ）到定点F （3，0）和定直线x=1的距离分别为d 1、d 2，且2d 1+d 2=5。
(1)求动点P 的轨迹方程，并且画出此方程的曲线C(2)若动点Q （x ，y ）在曲线C 上运动，试问Q 在什么情况下，|QF|取最大值、最小值？并求出此最大值或最小值。
答案一、选择题：二、填空题：13．28 14。
15三、解答题：17.()0AB AB AB AC CB CA CB AB AB CA CBCA CB CA CBABC ⋅=++⋅=⋅+⋅∴⋅=∴⊥∴∆解:为直角三角3分4分5形分6分18．（Ⅰ）ξ的概率分布如下：3分 (Ⅱ)Ｅξ＝０×75＋１×215＋２×211 4分 ＝315分19．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1,3sin arc 234D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CDAB A B EB EG EBG EB A B ABD ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=====∴∠=∴分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中于是与平面所成的是分角分分（Ⅱ）连结A 1D ，有EAA D AED A V V 11--=5分,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，6分则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1 362=. 故A 1到平面AED 的距离为362.9分20．（1）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f 1分令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数.2分 （2）1)21()(1-==f x f ， ),(2)()()1()12()(21n n n n n n n nn n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=⋅++=+=+3分)}({.2)()(1nn n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列．.2)(1--=∴n n x f 4分（3）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n nx f x f x f,2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n 6分而 ,2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n7分 .252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n 8分21．解：f ˊ(x ˊ)=3ax 2+11分 若a > 0，则f ˊ(x)>0, x ∈(-∞,+∞)此时(x)只有一个单调区间，矛盾3分 若a=0，则f(x)=x ，此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾4分若a<0，则)31)(31(3)('ax ax a x f ---+= 6分综上可知，a<0时，)(x f 恰有三个单调区间，其中减区间为)31,(a---∞,),31(+∞-a增区间为)31,31(aa---8分22．①依题意|1|)3(222221-++-=+x y x d d 1分所求曲线方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=+-≥=+-)1(,)37()314()316()1(,134)2(222222x y x x y x 3分 图略5分②若Q 在C 1上，25||max =QF ，此时23,1±==y x ， 1||min =QF ，此时x=4，y=07分若Q 在C 2上，25||max =QF ，此时23,1±==y x ，37||max =QF ，此时0,32==y x9分 综上所述，当Q 坐标为)23,1(±时，25||max =QF ，当Q 坐标为（4，0）时，1||min =QF 10分。