❖一个例子
表2.1
x
y
80
55
每 60
周
家 65
庭
消 70
费
支
75
出—
X：每周家庭收入（$）
100 120 140 160 180 200 220 240 260
65
79
80
102 110 120 135 137 150
70
84
93
107 115 136 137 145 152
74
90
95
110 120 140 140 155 175
它表示消费支出Y线性地依赖于相应的收入X i 和随 机扰动项
由（2.4.1）式： Yi 1 2 X i ui 期望值得：E(Yi | X i ) E[E(Y | X i )] E(ui | X i )
常数的期望是它本身
E(Y | X i ) E(ui | X i )
两边取
而 E(Yi | X i )
入为 X给i的定所收有入家水庭平X的i 平的均个消别家费庭支的出消的周费支围出，，也聚就是集围在绕收 着它的条件均值
个别的Yi围绕它的期望值的离差（deviation）可以
表示如下：
ui Yi E(Y | X i ) （2.4.1）
Yi或 E(Y | X i ) ui
离差ui是一个不可观测的随机变量，称之为随机干扰
值的条件分布（conditional distribution） 因为表2.1代表一个总体，我们可以从表中计算出
给定X的Y的概率，这在统计上叫做什么？
比如：
P(Y 55 | X 80) 1 5
P(Y 150 | X 260) 1 7
对Y的每一个条件概率分布，我们所计算出它的均
值（mean或average value），称为条件均值（condi
第2章 双变量回归分析： 一些基本概念
回归分析是要根据解释变量的已知或给定值， 去估计或预测因变量的总体均值
假如我们要研究每周家庭消费支出Y与每周 可支配的家庭收入X之间的关系
假设这个国家的家体的总体由60户家庭组成。 可以按收入的高低把这60户家庭分组，每一组的 组内收入相差不大。假定我们得到的观察值如表 2.1所示
tional mean）或条件期望（conditional expectatio
n），记做：
E(Y | X Xi )
比如，给定X＝80
E(Y | X 80) 55 1 60 1 65 1 70 1 75 1 65
5
5
5
5
5
可以由表2. 1绘制如右 图的散点图
返回
散点图表明对应于各个X值的Y的条件分布，它表
（stochastic disturbance）或随机误差项（stochasti c error）
从计量经济学上看，对于给定的X水平，个别家庭的支出
可以分解为两个部分：
①表示收入相同的所有家庭的平均消费支出，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic）成分 （component）。
诸如： E(Y | Xi ) 1 2 Xi2 这样的回归函数，就不是线性的。
（2）对参数为线性
即Y的条件期望 E(Y | X i ) 是参数i 的一个线性函 数；它既可以是也可以不是变量X的线性函数
这样以来， E(Y | Xi ) 1 2 Xi2 就是一个线性回归模型，
而
E(Y | Xi ) 1 2 Xi
图2.1可以画成图2.2的形式 可见，对应于每一个Xi都有一个Y值的总体和
一个相应的条件均值。而回归直线（曲线）正好 穿过这些条件均值
❖总体回归函数（PRF，population regression functio
n）
Xi
由图2.1和图2.2可见，每一个条件均值都是 的一个
函数，即： E(Y | X i ) f ( X i )
则不是线性的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在今后的课程中，我们讲的“线性”指的是对参数为
线性的情况，对解释变X量i 则可以是也可以不是线性的。
如：
E(Y | Xi ) 1 2 Xi2
是一个LRM（linear regression model）
❖ PRF的随机设定
我们现在再回到表2.1和图2.1，可见，随着家庭 收入↑，家庭消费支出平均地看也会↑；但是对具体的 某一个家庭的消费支出却不一定随收水平↑而↑
80
94
103 116 130 144 152 165 178
85
98
108 118 135 145 157 175 180
88
—
113 125 140
—
160 189 185
—
—
—
115
—
—
—
162
—
191
共计 325
46
445
707
678
750
685
104 3
966
121 1
表2.1的含义：它给出了以X的给定值为条件的Y
（2.2.1）
这个方程就叫做（双变量的）总体回归函数（PRF）
或简称总体回归（population regression, PR），它表
明Y的均值或平均响应（average response）是如何随X
而不f (X同i )
E(Y | X i ) X i
的具体函数形式如何确定是一个经验问题，已
知的经济理论可以给我们一些指导。假如，
是
E(Y | X i ) 1 2 X i
的线性 1 函数： 2
（2.2.2）
在我们的课程中，回归，回归方程和回归模型将 不加以区分，作为同义词使用
❖ “线性”一词的含义
（2.2.2）式被称为“线性”总体回归，其中的“线 性”的含义是什么？
它可以作两种解释：
（1）对变量为线性
义上看即，：这Y样的的条回件归期曲望线值是是一X条i 直的线线。性函数，从几何意
②ui为随机的或非系统性成分（nonsystematic com ponent）。它是代表所有可能影响Y的，但又没有包括
到回归模型中的替代（surrogate）或代理（proxy）变
量
假定E(Y | X i ) X对i 是线性的，（2.4.1）式便可 以写为：
Yi 1 2 X i ui
（2.4.2）
明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。
Y的条件均值随X增加而增加。图中的粗圆点（大 的黑点）表示Y的各个条件均值
Y的条件均值落在一条正斜率的直线上，这条线叫
总体回归线（population regression line or curv
e），它代表Y对X的回归
从几何意义上讲，总体回归曲线就是，当解释变 量取给定值时，因变量的条件均值或条件期望的轨迹