两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。
对于复杂系统，储能元件越多, 阶数越高;只要参数 恒定,且无非线性元件,系统可表示为LTI高阶微分方程。 X
8
二．n 阶线性时不变系统的描述
第 页
1．微分方程的描述
一个线性系统，其激励信号f(t)与响应信号y(t)之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
跳变取决于微分方程右端激励项是否包含 及其t各 阶
导数项。
X
13
电容电压的突变
第
页
由伏安关系
iC (t) C
v c(t)C 1 t ic()d
ic(t)C dd c(tv )t v C ( t )
C 1 0 ic()d C 10 0 ic()d C 10 tic()d
令 如t 果i0 c ( ,t)v v 为c c ((0 0 有 )) 限 C 1 v 值 c( 0 0 0 ic )( )C 1 d0 0 iC 1 c(0 ) t d ic( )0 d当 或 用有 阶于冲 跃电激 电容时电 压流 作：
00ic()d 0,
•卷积的性质 y zs tft h t
•系统零状态响应
X
4
第一节 连续时间系统的数学模型
第 页
主要内容
物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法(复习)
X
5
一．数学模型——微分方程的建 第
立
页
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
andndytn(t)an1dnd1 tny1(t)a1ddy(tt)a0y(t) bmdm dtfm (t)bm1dm dt1mf1(t)b1ddft(t)b0f(t)
若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常 系数的n阶线性常微分方程。
X
9
第 页
阶次：方程的阶数由响应的最高阶导数决定。 即由独立动态元件的个数决定。
包含激励的作用,不便于描述系统的历史信息.
y (0 ),
dy (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ),
, d n d 1 ty n ( 1 0 )
一般系统的初始状态是在激励作用系统之前 确定的.即反映的是系统的储能状况.
X
12
第
说明 页
•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
1
第
第二章 连续系统的时域分析 页
引言
时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系 统的微分方程。这种方法比较直观，物理概念比 较清楚，是学习各种变换域方法的基础。
输入输出描 :一述元N阶微分方程 状态变量描 : N述 元一阶微分方程
本章中我们主要讨论输入、输出描述法
X
2
系统分析过程
第 页
列写方程 : 根据元件约,网束络拓扑约(要束求电路）
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak e kt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解。
注意: 由初始条件(0+值)代入全解中确定出齐次解系数 Ak 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
第 页
电阻 电感 电容
iRt
1 vt
R
iLt
1 L
t vd
i
s
t
iCtCddvttiR源自iLRLC
a ic
vt
b
根据KCL iR t iL t iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有
C d d 2v t2 tR 1d d v ttL 1v t d d iS tt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
经典法: 齐次解特解
解方程 双零法 零 零状 输态 入:: 利 齐用 次卷 方积 程积 的分 解法求解
变换域法
经典法:前面电路分析课（高数）里已经讨论过，
但与(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
X
3
本章主要内容
第
页
•系统数学模型的建立 •系统完全响应的求解 •冲激响应h(t)的求解 •卷积的图解说明
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系(伏安特 性)以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等 等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
X
6
例1
求并联电路的端电压 v t 与激励 is t 间的关系。
X
7
第
例2 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
页
k
m f Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩
擦刚体力运为动f，速外度加v牵t 间引的力关为系FS可t以，推其导外出加为牵引力FSt与 m d d 2v t2 tfd d vtt ktv d F d S tt
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。
2、系统模拟框图与微分方程
d d 2r t(2 t) 4d d r(tt) 3 r(t)d d e(tt)2 e(t)
d2rt
drt
et
2 dt2
dt
rt
4
d
dt
3
X
10
三.时域经典求解法:齐次解+特解
第
页
a n y n ( t ) a n 1 y n 1 ( t ) a 1 y ( t ) a 0 y ( t ) b m f m ( t ) b m 1 f m 1 ( t ) b 1 f ( t ) b 0 f ( t )
为 t 0时的方程的解，初始条件与初始状态的区别 X
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第 页
初始状态: t=0-状态, f(t)=0
反映的是系统的历史信息,与激励无关.
y (0 ),
d y (0 ), d t
d 2 d y t(2 0 ), , d n d 1 tn y (1 0 )
初始条件: t=0+状态, f(t)≠0
储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
v C 0 v C 0 ,i L 0 i L 0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
作用于电感， 0到状0态 就会发生跳变。
•当系统用微分方程表示时，系统从 0到 状0 态有没有