1.3 矢量微分元：线元、面元、体元
1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 3. 球坐标系
例： W Fdl B dS Q dV
其中： dl , dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：
dlx dxaˆx
面元： dSR R2 sinddaˆR dS R sindRdaˆ
dS RdRdaˆ
体元： dV R2 sindRdd
4. 正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2 ,u3) 不一定都是长度， 其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知 其拉梅系数 h1,h2, h3 ，就可正确写出其线元、面元和体元。
线元： dl draˆr rdaˆdzaˆz
面元： dSr rddzaˆr
dS drdzaˆ
dSz rddraˆz
体元： dV rdrddz
3. 球坐标系
在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元： dl dRaˆRRdaˆ Rsindaˆ
小结：矢量微分元：线元、面元、体元
1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 3. 球坐标系 4. 正交曲线坐标系
•线元： dl h1du1aˆu h2du2aˆu h3du3aˆu
12Leabharlann 3•面元： •体元：
dS1 h2h3du2du3aˆu 1
dS2 h1h3du1du3aˆu 2
dS3 h1h2du1du2aˆu 3
dV h1h2h3du1du2du3
注意:
a. 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z )均为长度量，其拉梅系数
dly dyaˆy
dlz dzaˆz
dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
面元： 体元：
dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dSz dxdyaˆz dV dxdydz
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z) ，如图，做一微分体元。
均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z) , 其中 为角度， 其对应的线元 rdaˆ ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,)，其中 , 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 Rsin