5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
性质：已知Xn p ，并知函数g(x)在x=处连续，
则g Xn p g
6
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
,
, Xn,
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np源自 np(1 p)). 二项分布和正态分布的关14 系
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
E
X
1
2 2
证明：仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x,
则 P X f x dx x
f (x)
x 2
x
2
f x dx
1
2
x 2 f x dx
DX
2
2 2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
n
02，4，3分
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1,
则对任意x，有：lim n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt (x),
2
证明：令X i
1 0
第i次试验时A发生 第i次试验时A未发生
则X 1
,
X
2
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互 独立的随机变量的综合影响所形成的，而其 中每个个别的因素作用都很小，这种随机变 量往往服从或近似服从正态分布，或者说它 的极限分布是正态分布，中心极限定理正是 从数学上论证了这一现象，它在长达两个世 纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。
11
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
或者，
序列
X
1 n
n i=1
Xi
以概率收敛于
即 X P
03,3,4分
9
定理5.3 贝努里大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则
0, 有：lim
P
n
nA n
p
1
证明：利用契比雪夫不等式，因nA bn, p,故：
根据独立同分布的中心极限定理:
16
Y
i 1
Xi 16100 4 100
X
1600 400
近似服从N
0,1
PX
1920 1 P X 1920
1
1920 1600 400
1 0.8 0.2119
16
例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E X ,方差D X 2
E
nA n
1 n
E nA
1 n
np
p,
D
nA n
1 n2
DnA
1 n2
npq
pq n
于是，
0, 有P
nA n
p
1
pq
n 2
即得：lim
P
n
nA n
p
1
大数定律的重要意义：
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方 们法便，可既以然通频过率做试nA/验n与确概定率某p事有件较发大生偏的差频的率可并能把性它很作小为，相我 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
Xi的近似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
Xk
1 n2
n
DXk
k 1
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
1 n
n k 1
Xk
1
2 2
n
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
[辛钦大数定理（弱大数定理）] 设X1,X2,…, Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同 的数学期望E（Xi）= （i=1,2,…）， 则对>0，有
示意例图
例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得36只，设它们的寿命是相互 独立的,求这36只元件的寿命的总和大于3920小 时的概率。
解：记16只电器元件的寿命分别为X1, X 2, , X16,
16
则16只电器元件的寿命总和为X Xi,
由题设E Xi 100, D Xi 1002 i1
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X bn,0.75,
E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又
fn A
X n
而P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n 0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1
1875 n
0.90
n 18750