第三章 晶格振动 参考答案 20113.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。

试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ第2n+1个原子所受的力nn n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++这两个原子的运动方程：n n n n n n n n u u u um u u u um 221211221121211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+方程的解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==q a n t i n q a n t i n Beu Aeu 2)12(122)2(2ωω代入到运动方程，可以得到B A e e B m A B e e A m q a i q a i q ai q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q ai q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足,.,22122212221221=-+++-+--ωββββββωββm eeeem q a i q ai q a i q a i根据上式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=21221221212)2(sin 411M ）（ββββββωqa3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M ，晶格常量为a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为β，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为）（a q a q y x cos cos 22M 2--=βω。

解：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第l,m 原子受到（l+1,m ），（l-1,m ），（l,m+1），（l,m-1）四个原子的作用力为：（l+1,m ）对它的作用力=），（m l u ,m 1,l u -+β （l-1,m ）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u --β （l,m+1）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u -+β （l,m-1）对它的作用力=）（1,m l,u --m l u β。

由于（l+1,m ）和（l-1,m ）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可以写为：[])2u (2u d ,1,1m l,,,1m 1,l 2,2m l m l m l m l ml u u u u dtu M -++-+=-+-+）（β 设解的形式为()[]t a mq a lq i u u y x m l ω-+=ex p 0,代入运动方程后，得到色散关系()()a q a q ee e e M y x aiq aiq a iq a iq y y xxcos cos 2242--=-+++-=--ββω3.3(a)解：对于一维单原子链，简正振动格波的色散关系表述为sin m aq aq ωπωπ== （1） 式中，,,a m β和q 分别代表恢复力常数，晶格常数，原子质量和格波波矢。

上面表明，ω是q 的偶函数。

设g （q ）表示q 空间中单位间隔内振动方式数，()g ω表示单位频率间隔内的振动方式数，于是有12102()()ma ag d g q dq ωωω-=⎰⎰=1202()a g q dq ⎰（2）从（1）式知道，当q=0时，0ω=：当q=1/2a ±时，m ωω= （2）式左边可以写成为120()()ma d g d g dq dqωωωωω=⎰⎰（3） 从（2）（3）式可以得到()2()d g g q dq ωω= 即()2()dqg g q d ωω=波矢空间的态密度g(q)1()1g q NaNa== 式中N 为晶格原子总数。

又从（1）式得到21/2cos (1sin )m m d a aq a aq dq ωπωππωπ==-=1/20()m a πωω- 代入（4）既得221/21()2()2()m dq g g q Na d a ωωπωω==-=221/221()mNπωω-或21/224()()N g mβωωπ-=-3.5(a)证明：在振动能级很密集，振动频率可以认为是准连续的情况下，晶格振动的总能量表达为1()21mB k T E g d e ωωωωωω⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪-⎩⎭⎰因此比热利用写成202()()()(1)B m B k TV V B B k TE e C k g d T k Teωωωωωω∂==∂-⎰把频率分布221/221()()mNg ωπωω=-代入上式，并令B x k T ω= m D B k ωΘ=则比热表示为2021/222()[1()](1)D T xBx DDNk T x e dxT x e πΘ⨯Θ--Θ⎰ （1） 在低温因为1m DB mBT T x k T k ωωωω==Θ因而21/2224413[1()]1()()28D D DT T T x x x --=+++ΘΘΘ在低温极限下，0DT→Θ 则有2202()(1)x BV x D Nk T x e C dx e π∞=Θ-⎰ 因为2222(1)(1)x x x x x e x e e e --=--=22(123)xx xxe e e---+++=223(23)x x x x e e e ---++ 21nx n x nx ∞-==∑2222001112(1)x nx x n n x e dx nx x dx e n∞∞∞∞-====-∑∑⎰⎰ =23π所以2222()()33BB V D mNk Nk T C T πππω==Θ3.9格林艾森常数。

（a ）证明频率为ω的声子模式的自由能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T k T k B B 2sinh 2ln ω ；（b ）如果∆是体积的相对变化量，则晶体的自由能密度可以写为∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆=∆→T k q T k B T F B B 2sinh 2ln 21),(2ω 其中B 为体积弹性模量。

假定⎪⎭⎫⎝⎛→q ω与体积关系为()()∆-=γωωq q d，γ为格林艾森常数，且与模q无关。

证明当⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆∑T k q q B B q 2)(coth )(21ωωγ 时，F 对于∆为极小。

利用内能密度的定义，证明∆可近似表达为B T U )(γ=∆。

解：（a ）双曲函数 基本定义sinh x =(e x – e -x )/2 cosh x =(e x + e -x )/2 tanh x =sinh x / cosh x coth x = 1 / tanh x考虑频率为ω的声子模，配分函数为12222/20212sinh 211...)1(eZ -------∞⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-=+++==∑T k e e e e eeeB T k Tk Tk Tk Tk Tk Tk T k n B B B B B B B B ωωωωωωωωω (1)故自由能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡==T k T k Z T k B B B 2sinh 2ln ln - F ω (2) (b)晶体的自由能为,2sinh 2ln E(V) T)F(V,∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=q B B T k T k ω （3） E(V)为0K 时晶体的内能，第二项为所有声子模的贡献。

若晶体体积改为V δ，则∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+q B T k T 2V)V (sinh 2ln k V)E(V T)V,F(V B δωδδ 而()2202221E(V)V 21E(V)T)V,E(V ∆+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+B V E δδ其中022B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=V E 为体积模量，V Vδ=∆，于是与∆有关的自由能为∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∆=∆k B B T k V V T k 2)(sinh 2ln B 21T),F(2δω （4） 其中∆-=∂∂+=∂∂+=+ωγωδωωωωδωωδωq VVV V V V VV V V )()()()( （5） VV V q ln ln )(∂∂-=∂∂-=ωωωγ为格林艾森常数。

假定q γ与模式q 无关，即γγ=q ，则由T),F(∆对∆的极小条件∑∑∆∂+∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆∂∂+∆=∆∂∂q B q B B T k T k T k V)V 2coth 21B 2V V sinh 2ln B F δωωδω（）（ （6）利用（5）式，γωδω-=∆∂+∂V )V （，由此有∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆q B T k 2coth 21B ωωγ （7） 平均热能为∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=q B q B B V T k T k k T F T F T U 2coth 212sinh 2ln T -T T T F -T )(2V2ωωω ）（ （8）这里假设ω与T 无关。

将（8）式代入（7）式得 B )(T U γ=∆3.10 假定作用在n 平面上总的力为()n p n pp n u u F -=+∑β 其中晶面间的力常数p β为pa pa k A p 0sin =β，这里A 和0k 为常数，p 取所有整数。

这种形式的力常数主要出现在电子—声子相互作用很强的金属中。

(1)利用此式和晶格振动方程证明，声子色散关系为)cos 1(2)(02qpa M q p p -=∑>βω(2) 计算q q ∂)(2ω的表达式。

证明当0q k ±=时，q q ∂)(2ω为无穷大，并讨论)(2q ω的变化情况。

解：（1）设第n 个原子面对平衡位置的位移为n x ，第n+p 和n-p 个原子面位移为n p x +和n p x -，则第n+p 和第n-p 个原子面对第n 个原子面的作用力可以写成()()(2)p p n p n p n n p p n p n p n f x x x x x x x βββ+-+-=---=+-晶体中每个原子面对第n 个原子面都有相互作用力，所以第n 个原子面的运动方程为00(2)n p p n p n p n p p mx f x x x β+->>==+-∑∑ 试探解为(2)i t naq n x Ae ωπ-=代入到运动方程中得到2220(2)i paq i paq p p m e e ππωβ->-=+-∑=0(2cos(2)2)p p paq βπ>-∑ 故格波的色散关系为220024(1cos(2)sin ()p p p p paq paq m m ωβπβπ>>=-=∑∑ （2） 若面间力常数取papa k A p 0sin =β的形式，代入色散关系)cos 1(2)(02qpa M q p p -=∑>βω中得到)cos 1(sin 2)(002qpa pa pa k A M q p -=∑>ω 和∑>•=∂∂002pq sin sin 2)(p a pa k M A q q ω 当0q k ±=时，∑∞==∂∂1022sin 2)(p pa k M A q q ω 右边级数发散，即∞→∂∂q q )(2ω。