高一兴趣导数大题目专项训练班级 姓名1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有()f x [,0)(0,]e e - (0,]x e ∈（其中为自然对数的底，）．()ln f x ax x =+e a ∈R （Ⅰ）求函数的解析式；()f x （Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求0a <[,0)x e ∈-()f x 3出实数的值；如果不存在，请说明理由；a （Ⅲ）设（），求证：当时，；ln ||()||x g x x =[,0)(0,]x e e ∈- 1a =-1|()|()2f x g x >+2.若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．3.设关于x 的方程有两个实根α、β，且。

定义函数012=--mx x βα<（I ）求的值；（II ）判断上单调性，并加以证.12)(2+-=x mx x f )(ααf ),()(βα在区间x f 明；（III ）若为正实数，①试比较的大小；μλ,)(),(),(βμλμβλααf f f ++②证明.|||)((|βαμλλβμαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数在处取得极值.22()()()x f x x ax b e x R -=++∈1x =（I ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；a b a b ()f x （II ）是否存在实数m ，使得对任意及总有(0,1)a ∈12,[0,2]x x ∈12|()()|f x f x -<恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．21[(2)]1m a m e -+++m 5．若函数()()2ln ,f x x g x x x==-（1）求函数的单调区间；()()()()x g x kf x k R ϕ=+∈ （2）若对所有的都有成立，求实数a 的取值范围.[),x e ∈+∞()xf x ax a ≥-6、已知函数.23)32ln()(2x x x f -+=（I ）求f (x )在[0，1]上的极值；（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围7.已知()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式ln 1ln 21⎛+-≤- ⎝．8.已知函数21()ln 2f x x x =+.（1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方；（3）求证：[()]()nnf x f x ''-≥22(nn -∈N *）.9.已知函数)0()(,ln )(<==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．参考答案1．解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇[,0)x e ∈-(0,]x e -∈()ln()f x ax x -=-+-()f x 函数得，因此，函数的解析式为()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--()f x ； ln()(0)()ln (0)ax x e x f x ax xx e ---≤<⎧=⎨+<≤⎩（Ⅱ）当时，：[,0)x e ∈-11()ln()()ax f x ax x f x a x x-'=--⇒=-=①若，则在区间上是增函10a e -≤<11111()0f x a x e x e e'=-≥--≥-+=⇒()f x [,0)e -数，故此时函数在区间上最小值为，得，不符合()f x [,0)e -()()ln 3f e a e e -=--=4a e=-，舍去。

②若，则令，且在区间10a e -≤<1a e <-1()0(,0)f x x e a'=⇒=∈-()f x 上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,0a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1x a =．min 11[()]1ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令．21131ln 3f a e a a ⎛⎫⎛⎫=⇒--=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3． 2a e =-()f x [,0)e -（Ⅲ）证明：令。

当时，注意到（设h(x)=x-1()|()|()2F x f x g x =--0x e <≤ln x x >lnx ，利用导数求h(x)在的最小值为1，从而证得x-lnx 1），故有0x e <≤>．ln 1ln 1()|ln |ln 22x x F x x x x x x x =---=---①当时，注意到，故02x <<1ln x x -≥；1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+->-+--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当时，有，故函数2x e ≤≤222211ln 1ln421ln 2()10xx x x F x x x x x ---+--+'=--=≥>在区间上是增函数，从而有()F x [2,]e 。

ln 213()2ln 2(1ln 2)0222F x ≥---=->因此，当时，有。

0x e <≤1|()|()2f xg x >+又因为是偶函数，故当时，同样有，即．()F x 0e x -≤<()0F x >1|()|()2f xg x >+综上所述，当时，有； 1a =-1|()|()2f xg x >+2. 【解】(Ⅰ) ，()()()F x h x x ϕ=-= 22ln (0)x e x x ->． 当时，． 2()2e F x x x '∴=-=x =()0F x '=当，此时函数递减；0x <<()0F x '<()F x 当时，，此时函数递增；x >()0F x '>()F x ∴当时，取极小值，其极小值为．x =()F x 0(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在)(x h )(x ϕe x =和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为，则)(x h )(x ϕk 直线方程为，即)(e x k e y -=-． 由，可e k e kx y -+=)()(R x e k e kx x h ∈-+≥得当时恒成立．02≥+--e k e kx x R x ∈，2)2(e k -=∆ 由，得． 下面证明当时恒成∴0≤∆e k 2=e x e x -≤2)(ϕ0>x 立．令，则()()G x x e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2 当．2()e G x x '=-=x =()0G x '=当时，，此时函数递增；0x <<()0G x '>()G x当，此时函数递减；x >()0G x '<()G x ∴当时，取极大值，其极大值为．x =()G x 0从而，即恒成立． ()2ln 0G x e x e =-+≤)0(2)(>-≤x e x e x ϕ∴函数和存在唯一的隔离直线．()h x ()x ϕy e =-解法二： 由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．……7分0x >()()h x x ϕ≥x =若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得()h x ()x ϕk b 和恒成立，()()h x kx b x R ≥+∈()(0)x kx b x ϕ≤+>令且x =e b ≥+e b≤+，即． 后面解题步骤同解法一．b e ∴+=e k e b -=3. （I ）解：的两个实根，01,2=--mx x 是方程βα ⎩⎨⎧-=⋅=+∴.1,βαβαm .1)()(212)(22αβααβααβαβααααα=--=-+-=+-=∴m f …………3分.1)(=∴ααf （II ），12)(2+-=x mx x f …………4分.)1()1(2)1(2)2()1(2)(22222+---=+⋅--+='∴x mx x x x m x x x f 当…………5分.0))((1,),(2<--=--∈βαβαx x mx x x 时而，0)(>'x f 上为增函数。

…………7分),()(βα在x f ∴ （III ）①βαμλ<>>且,0,0..0)()(,0)()(βμλμβλααμλβαλμλβμλμβλαβμλμβλαμλαβμμλαμλμβλααμλμβλα<++<∴<+-=++-+=-++>+-=++-+=-++∴…………9分由（II ），可知…………10分).(()(βμλμβλααf f f <++<②同理，可得).(()(βμλλβμααf f f <++<).()(()()()(αβμλλβμαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴…………12分.|)()(||()(|βαμλλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴又由（I ），知.1,1)(,1)(-===αβββααf f .|||||11||)()(|βααβαββαβα-=-=-=-∴f f 所以…………14分.|||()(|βαμλλβμαμλμβλα-<++-++f f 4. 解：（I ），由条件得：.22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++(1)0f '=，.（1分）230a b ∴++=32b a ∴=--得：.22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->(1)[(3)]0x x a ---->当时，不是极值点，.（2分）4a =-1x =4a ∴≠-当时，得或；当时，得或.（4分）4a >-1x >3x a <--4a <-3x a >--1x <综上得：当时，的单调递增区间为及4a >-()f x (,3)a -∞--(1,)+∞ 单调递减区间为.（5分）(3,1)a --当时，的单调递增区间为及4a <-()f x (,1)-∞(3,)a --+∞ 单调递减区间为.（6分）(1,3)a --（II ）时，由(I)知在上单调递减，在上单调递增.(0,1)a ∈()f x [0,1)(1,2]当时，.∴[0,2]x ∈11min ()(1)(1)(2)f x f a b ea e --==++=-- 又，，则.2(0)(32)f a e -=--(2)421f a b =++=(2)(0)f f > 当时，.（8分）∴[0,2]x ∈1()[(2),1]f x a e -∈-- 由条件有：∴.2112max min max [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e -=++ .即对恒成立.2(2)2m a m a ++>+2(1)20m a m ++->(0,1)a ∈ 令，则有：2()(1)2g a m a m =++-22(0)20.(10)(1)10g m g m m ⎧=-≥⎪⎨=+-≥⎪⎩分 解得：或 （14分）m m ≤5. 【解】:(1)由题意知: 的定义域为,()x ϕ()0,+∞ ()222x kx x x ϕ++'=令()22p x x kx =++28k ∆=-当时,即时, 280k ∆=-≤k -≤≤()0x ϕ'≥当时,即280k ∆=->k k ><-方程有两个不等实根, 220x kx ++=12x x ==若,则在上k >120x x <<()0,+∞()0x ϕ'>若则,k <-120x x <<()()()()()()11220,,0,,,0,,,0x x x x x x x x x x ϕϕϕ'''∈>∈<∈+∞>当当当所以:综上可得:当时, 的单调递增区间为,单调递减k <-()x ϕ,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭区间为;当的单调递增区间为k >()x ϕ()0,+∞(2)解法一：因为，所以[),x e ∈+∞ln ln 1x xx x ax a a x ≥-⇔≤- 令，则()[)ln ,,1x x h x x e x =∈+∞-()()2ln 11x x h x x --'=-当时，，故[),x e ∈+∞()1ln 110x x x'--=->ln 1ln 120x x e e e --≥--=->所以：()()()()2min ln 1011x x eh x h x h e e x --'=>∴==--1e a e ∴≤-解法二：()ln 0xf x ax a x x ax a ≥-⇔-+≥令()ln h x x x ax a =-+当时[),x e ∈+∞()min 0h x ≥()()1ln 1,0a h x x a h x x e -''=+-==由得：()()()()110,,0,,,0a a x e h x x e h x --''∈<∈+∞>当时当时所以上单调递减，在单调递增()h x ()10,a e-()1,a e-+∞①当时，在上单调递增，2a ≤()1,a ee h x -≤[),x e ∈+∞()()min 0h x h e e ae a ==-+≥1e a e ∴≤-②当时，2a >()0h e e a ae≥⇒+≥ 若，则；若，则2a e <<2e a e ae +<<a e ≥2e a a ae +≤<故不成立，2a >综上所得：1e a e ≤-6.解：（I ）23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ，令1310)(-==='x x x f 或得（舍去）)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时单调递减.]1,0[)(613ln 31(在为函数x f f -=∴上的极大值（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得xx a x x a 323lnln 323lnln ++<+->或， …………①设332ln323ln ln )(2x x x x x h +=+-=，xxx x x g 323ln323lnln )(+=++=，依题意知31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ，03262)62(31323)(22>++=+⋅+='x x xx x x x h ，]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，当且仅当.51ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 （III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f 令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增；当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减而)1()37(),0(37(ϕϕϕϕ>>，]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=215ln)1(67267)72ln()37(2ln)0(bbbϕϕϕ.37267)72ln(215ln+-+<≤+∴b7. 解：（1）()1a ab axf xax b ax b--'=-=++. 0,0,0x a b>>≥, ()0f x'∴≤时，0a b-≤，即a b≤.当a b≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax>>∴+>--≥≤, 即()0f x'≤.()f x∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a≥. ………（4分）（2）由（1）知，当b a≥时()f x为减函数，()f x的最大值为(0)lnf b=；当b a<时，()a b axf xax b--'=+，∴当0a bxa-<≤时，()0f x'>，当a bxa->时()0f x'<，即在[0,)a ba-上()f x是增函数，在[,)a ba-+∞上()f x是减函数，a bxa-=时()f x取最大值，最大值为max()()lna b a bf x f aa a--==-，即maxln(),()ln().b b af x a ba b aa⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥……（13分）（3）在（1）中取1a b==，即()ln(1)f x x x=+-, 由（1）知()f x在[0,)+∞上是减函数.ln(1ln21-，即(1)f f≤，10x<或x.故所求不等式的解集为)+∞……………（8分）8.解：（1）∵f'(x)=1xx+∴当x∈[1,e]时，f'(x)>0，　∴()f x在[1,e]上是增函数故min1()(1)2f x f==，2max1()(e)e12f x f==+. ……………………4分（2）设2312()ln23F x x x x=+-，则221(1)(12)()2x x xF x x xx x-++'=+-=，∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.又1(1)06F =-<，故在[1,)+∞上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，∴函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方. ……………………8分（3）∵x >0，∴11[()]()nn n n n f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫''-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，不等式显然成立；当n ≥2时，有1122121111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x x x----''-=⋅+⋅++⋅ 1224121224122421101111[((()]2n n n n n nn n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x -----------=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++++ 分≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n -=∴[()]()n n f x f x ''-≥22(nn -∈N *）9解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x x ax x a x x F ）上单调递增。