若在线性部分的频率特性G l(jω)曲线与非线性元件的负倒
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§7-3 描述函数分析
描述函数-1/N(X)曲的交点处，沿振幅X增加方向，-1/N(X)上的 点不被G l(jω)曲线所包围，则这个交点是稳定的自激振荡点， 其线性元件的输出波形为正弦波，振荡频率为交点处G l(jω)的 ω值，现行元件输入信号一次谐波的复制为交点处-1/N(X)曲线 的X值。
振荡线性化是在非线性元件的输入端除加输入信号外，还 加一个辅助的高频振荡信号，在非线性元件的输出端接一个低 通滤波器，如图7-20所示。图中x1(t)为输入信号，x2(ωt)为附 加高频振荡，y(t)为非线性元件的输出，z(t)为低通滤波器的 输出。当输入信号x1(t)等于常数时，y(t)为频率等于ω的周期 波，其波形与x1(t)、x2(ωt)及非线性特性f(x)有关。如果低通 滤波器能滤去频率等于和高于ω的所有谐波，则低通滤波器输 出仅保留了与输入信号有关的直流分量。这样z(t)对于x1(t)而 言，可能得到近似的线性关系。
第七章 非线性系统
§7-1 概述 §7-2 描述函数法 §7-3 描述函数分析 §7-4 非线性特性的振荡线性化
§7-1 概述
一、反馈系统的非线性特性 在反馈系统中，常见的非线性特性有：
1)据有光滑曲线形式的非线性较大时，必须考 虑其非线性特性。
三、非线性系统的研究方法 1.相平面法 应用相平面图可以分析非线性系统的稳定性、过
渡过程即自振荡等问题。 2.描述函数法 描述函数法不受系统阶次的限制，但必需满足
假设条件。 3.系统仿真
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§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念 描述函数法基于下述情况：如果非线性元件输出的周期函
数信号加到另一个线性元件的输入端，当线性元件有滤除非 线性元件输出y(t)中二次及二次以上谐波的低通滤波特性时， 那么线性元件的输出为与非线性元件输入同频率的正弦函数， 如图7-4所示。 二、描述函数计算举例
§7-3 描述函数分析
一、非线性系统的稳定性分析 非线性系统的稳定性结论如下：
1)当线性部分的频率特性G l(jω)曲线不包围-1/N(X)曲线 时，如图7-13(a)所示，系统是稳定的。
2)当线性部分的频率特性G l(jω)曲线包围-1/N(X)曲线时， 如图7-13(b)所示，系统不稳定。
3)当线性部分的频率特性G l(jω)曲线与-1/N(X)曲线相交 时，如图7-13(c)所示，系统处于临界稳定状态，可能产生自激 振荡。 二、自激振荡的稳定性
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图7-1
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图7-4
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表7-4
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表7-4
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图7-13
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图7-14
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图7-20
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2)由摩擦等因素所引起的死区(不灵敏区)特性，如图7-1（c） 所 示。 3)由齿轮间隙等引起的滞环特性，如图7-1(d)所示。 4)理想继电器特性，如图7-1(e)所示。
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§7-1 概述
5)复杂非线性特性，它可能包含几种简单的非线性特性，如 图7-1(f)所示的非线性特性含有死区和饱和两种非线性特性。 二、非线性系统的某些特点
非线性函数的描述函数可按下面四步计算：
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§7-2 描述函数法
1)画出非线性元件在正弦输入情况下的输出y(t)的波形； 2)写出y(t)的数学表达式； 3)计算y(t)的一次谐波系统A1和B1； 4)计算非线性元件的描述函数N(X)。
为使用方便，表7-4示出常见非线性特性的描述函数。
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系统中只要有一个元件具有非线性特性，这个系统就称为 非线性系统。非线性系统有如下特点：
1)非线性系统的运动特性用非线性方程描述，非线性系统不 满足迭加原理。
2)非线性系统的稳定性，不仅与系统的结构和参数有关，而
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§7-1 概述
且与输入信号及初始条件有关。 3)非线性系统可能产生稳定的等幅振荡，即自振荡。
另外，对于图7-14所示情况，如果初始振荡的幅值小于XA， 如在C点，则振荡会自动消逝，系统是稳定的；如果初始振荡的 幅值大于XA，如在D点，则振荡振幅会自动增加，最后稳定在B 点，形成稳定的自振荡，系统是不稳定的。由此观之，非线性 系统的稳定性与初始条件有关。 三、自激振荡分析举例
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§7-4 非线性特性的振荡线性化