1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1)
并求向量 (a1,a2 ,L ,an )在基1,2 ,L ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2 L n
.
2
LLL
n
2
L
L
L L
L
n
n
§6.1 集合 映射
1 0 L 0
∴(1,2 ,L
,n )
(log2a ) 2log2a a ∴ 是满射．
故 是1—1对应．.
§6.1 集合 映射
2、令 f : x a x, g : x a 1 , x R，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
. 故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§6.1 集合 映射
例1 在Pn中，求由基1, 2 ,L , n 到基1,2 ,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2 ,L ,n 到基 1, 2 ,L , n 的
过渡矩阵．其中
1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0),L , n (0,L ,0,1)
a b ab, k oa ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 解: 数1是R＋的零元素. (Q x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k oa ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
.
§6.1 集合 映射
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
M an an1
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
. (a1,a2 a1,L ,an an1 )
§6.1 集合 映射
例2 在P4中，求由基1,2 ,3 ,4到基1,2 ,3 ,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2,1,0) 2 (1,1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
第六章 线性空间
§6.1 集合 映射
3、集合间的运算
交：A I B {x x A且x B} ； 并：A U B {x x A或x B}
显然有，A I B A; A A U B
练习：
1、证明等式: A I ( A U B) A ．
证：显然，A I ( A U B) A ．又 x A, 则x A U B，
在基
E11, E12 , E21, E22 下的
坐标就是 (a11, a12, a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
矩阵单位
0
0
O
Eij
01 O 0
第i行 i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n
0
O 0 就是 Pmn 的一组基．
（既不单射， 也不是满射）
τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
. σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
§6.1 集合 映射
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵
τ：τ(a)＝aE， a P （是单射，但不是满射） 5）M、M´为任意非空集合，a0 M 为固定元素
σ：σ(a)＝a0， a M （既不单射，也不是满射） 6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f ( x) P[ x]（是满射，但不是单射）
7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， a M
又因为 g 是单射，有 g( f (a1)) g( f (a2 ))
即, g o f (a1) g o f (a2 ) ∴ h(a1) h(a2 ), h 是单射.
因而 h 是双射． 又 Q h o( f 1 o g1 ) ( g o f ) o( f 1 o g1) IC
. 同理 ( f 1 o g1 ) oh I A. h1 f 1 o g1
∴ x A I ( A U B) ， 从而,
故等式成立．.
§6.1 集合 映射
A AI (AU B)．
2、已知 A B，证明： (1)A I B A; (2)A U B B
证：1）x A, A B x B x A I B, 此即， A A I B, 又因 A I B A，∴ A I B A．
(1, 2,L
,
n
)
1 L 1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 L 0 1
而，(1, 2 ,L
,n)
(1,2 ,L
,n
)
1 L 1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
(1,2 ,L ,n ) 0 1 1 L 0
.
L 0
L 0
LL 0L
L 1
§6.1 集合 映射
§6.1 集合 映射
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的 一组基； 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为
它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
数1就是它的一组基..
a c
b d
0
有 a b c d 0.
又对
A
a11 a21
a12 a22
P 22
，有
A a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
. ∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
§6.1 集合 映射
注：
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
(n 1)! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
. ( f (a), f (a),L , f (n1) (a)) (n 1)!
8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射）
. （双射）
§6.1 集合 映射
练习：
1. 找一个R到R＋的1—1对应．
解：x R ，规定 : x a 2x
则 是R到R＋的一个映射. ∵若 2x 2y，则 2x y 1, x y ， ∴ 是单射．
又对a R，存在 x log2a R ，使
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
. (a0, a1,L , an1)
§6.1 集合 映射
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
. 解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
∴ξ在基 1,2,3,4下的坐标为 (
1
5
,
1
4 ,
44
． 1, 4
1) 4
．
§6.1 集合 映射
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
1 x
1 y ，则
x y ，g是单射．
并且x R ,有 1 R ,使g( 1 ) x ，即g是满射．
x
x
又∵ f o g(x) f (g(x)) f ( 1) 1 ，
xx
∴ f og IR ， g不是 f 的逆映射． 事实上，f 1 f ．
. 2）g是可逆映射． g1 g
§6.1 集合 映射
但 f (a1) f (a2 ), 于是有 h(a1) g o f (a1) g( f (a1)) g( f (a2 ))
. g o f (a2 ) h(a2)
这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
2）∵ h 是满射，c C,a A,使h(a) c ，即 c h(a) g o f (a) g( f (a))
又∵ f (a) B ，∴ g 是满射． 3） c C ，因为 g 是满射，存在 b B ,使
g(b) c. 又因为 f 是满射，存在 a A ，使 f (a) b ∴ h(a) g o f (a) g( f (a)) g(b) c,
h是满射.．
§6.1 集合 映射
∵若 a1, a2 A, 且a1 a2 ，由于 f 是单射，有 f (a1) f (a2 ).