必修1集合
解集合题首先想到Φ=方程无解
一，数学思想应用
1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:
数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文
2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:
函数法方程法判别式法构造法
3、分类讨论思想在解集合题中具体应用:
列举法补集法空集的运用数学结合
4、化归与转化思想在解集合题中具体应用:
列方程补集法文氏图法
二,集合的含义与表示方法
1、一般地，我们把研究对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合
2、集合元素三特性
1.确定性；
2.互异性；
3.无序性
3、a是集合A的元素，a∈A a不属于集合A 记作 a∉A
立体几何中体现为点与直线/ 点与面的关系
元素与集合之间的关系
4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0
正整数集N*或 N+ 不含0
整数集Z 有理数集Q 实数集R
3、集合表示方法：列举法描述法韦恩图
4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。

描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是
{x∈R| x-3>2} Y {x| x-3>2}
集合的分类：有限集无限集空集
三、集合间的基本关系
A⊆有两种可能
“包含”关系—子集B
立体几何中体现为直线与面关系（a）A是B的一部分
（b）A与B是同一集合。

反之: A⊆/B Y B⊇/A
A⊆⇔C U B⊆C U A
（c）A∩B=A ⇔B
A⊆⇔ C U B⊆C U A
（d）A∪B=B ⇔B
B⊆⇔C U A⊆C U B
（e）A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5⇒5=5)
①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A
②真子集:如果 A⊆B且A≠ B ⇔ A B或B A
③A⊆B, B⊆C ⇔ A⊆C
④ A⊆B 且B⊆A ⇔A=B B
⇔
Y
A=
=I
A
B
A
B
我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ
规定: 空集是任何集合的子集，Φ⊆A
空集是空集的子集Φ⊆Φ
空集是任何集合的子集⇒该集合可为空集，必考虑Φ空集是任何非空集合的真子集
ΦA∩B⇔A∩B集合一定非空⇔方程有解
四、集合的运算
1．A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．
2、A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．且 与 或 是区分交与并的关键
3、交集与并集的性质：
A ∩A = A A ∩φ= φ A ∩
B = B ∩A
A ∪A = A A ∪φ= A A ∪
B = B ∪A
4、全集与补集
（1）补集： C S A ={x | x ∈S 且 x ∉A}
（2）全集：含各个集合的全部元素U
（3）性质： C U (C U A)=A C U U=Φ C U Φ=U
(C U A)∩A=Φ (C U A)∪A=U
C U A ∪B=U ⇔B A ⊆ C U A ∩B=Φ⇔
B ⊆ A
已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况： ∅=A ∪ ∅=B ∪ ∅=A ∩∅=B ； 求集合的子集时不能忘记∅
S C s A
A
1、对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集个数，n 2 真子集，12-n 非空子集，12-n 非空真子集为.22-n
① 交换律：A B B A Y Y =； A B B A I I =；
② 结合律：)()(C B A C B A Y Y Y Y =； )()(C B A C B A I I I I
=
③ 分配律：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =； )()()(C A B A C B A I Y I Y I =
④ )(B A A Y ⊆ A B A ⊆)(I
)()(B A B A Y I ⊆ A B B ⊆⇔=B A I B )(⊇B A Y )(B B A I ⊇ )()(B A B A I Y ⊇ B A A B A ⊆⇔=I
A B A B A ⊆⇔=Y ； B A U B A C U ⊆⇔=Y )(； A B B A C U ⊆⇔Φ=I )(；
⑤ 反演律： B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(， 并补补交 B C A C B A C I I I ⋃=⋂)( 交补补并 )()()(B A C B C A C U U U Y I
=； 补交并补
)()()(B A C B C A C U U U I Y = 补并交补
B A Y 中元素的个数的计算公式为：
)()(B A Card CardB CardA B A Card I Y -+= 二并和减交
)()(B A Card CardB CardA B A Card Y I -+= 二交和减并
()()
card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I 三并和减交加交
(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.
A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U
注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.
3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.
②点集与数集的交集是φ.
例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2
+1} 则A ∩B =∅ 包含关系：
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C
等价关系：U A B A B A A B B A B U
⊆⇔=⇔=⇔=I U U C
分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I
==
,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U
.,A A A A A A ==Y I
求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U
包含关系
A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U
定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有： （1）);()()(C A B A C B A I Y I Y I
= （2）)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =；
（3）);(111B A C B C A C I Y = （4）).(111B A C B C A C Y I =
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若)(C B A x Y I ∈，
则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即)()(C A B A x I Y I
∈；反之，)()(C A B A x I Y I ∈，则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，
即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x Y ∈，即).(C B A x Y I
∈
（3）若B C A C x 11Y ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以
)(B A x I ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x I ∈，即)(111B A C B C A C I Y ⊆，反之也有
.)(111B C A C B A C Y I ⊆
分配律
1 (A ∩B)∪C = C ∪(A ∩B) = (A ∪C)∩(B ∪C)
(A ∪C)∩(B ∪C)= C ∪(A ∩B)= (A ∩B)∪C
2 (A ∪B)∩C = C ∩(A ∪B) = (A ∩C)∪(B ∩C) (A ∩C)∪(B ∩C) = C ∩(A ∪B) = (A ∪B)∩C
吸收律A∪(A∩B) = A A∩(A∪B) = A
传递性：A⊂B且B⊂C ⇒ A⊂C；
A⊆C，B⊆C ⇒ A∪B⊆C A⊆A∪B
C⊆A，C⊆B ⇒ C⊆A∩B A∩B⊆A
A⊆B ⇒ A∪B=B A⊆B⇒A∩B= A
若A∪B = U且A∩B= Ø 则B = A C。

Ø ⊆A⊆S A⊆A∪B 若A⊆C 且B⊆C 则A∪B⊆C A∩B⊆ A 若C⊆A且C⊆B则C⊆A∩B
A-B-C =A-(B+C)=A∩C U(B∪C) 减交补。