1
已知 R3中两个向量1

11 , 2


2 1
正交，
求一个非零向量3，使1,2 ,3为正交向量组。
2019年9月15日星期日
8
例2 (P134例5.1.3)
1
求一组非零列向量1,2与已知向量3 11正交，
并把他们化成正交规范基。
当且仅当 0时，, 0
2019年9月15日星期日
4
3.模(范数)：
, a12 a22 an2
非负性： 0
齐次性：k k
三角不等式：
4.单位向量： 1
5.夹角：cos ,
单位化：

2
,
n




0
1
0






n
,1

n ,2

n
,
n



0
0
1



i
,
j


0
i
j
, 1 i j i 201i9年9月15日星期日
1,2 ,
11
,n是正交规范向量组
例1
1


k

k

k 1
, ,
1 1
1

k 2
, ,

2 2


2


k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化： k
k
2019年9月15日星期k日
k 1, 2,
,m
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标准正交向量组
例1 (P133例5.1.2) 1
b2


bn

“对乘加”
a1b1 a2b2 anbn
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2.性质
交换律：, ,
结合律：k, ,k k , 分配律： , , , ：, a12 a22 an2 0

2 2


2


k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化：k
k k
k 1, 2,
,m
标准正交向量组
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作业
习题5(A)：P155 7
提前预习 §5.2 矩阵的特征值与特征向量
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单位化：
0
正交：, 0
正交向量组必线性无关.
2019年9月15日星期日
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施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组


k

k

k 1
, ,
1 1
1

k 2
, ,

2
0
已知矩阵 0 1

1
0
2
则 x _______
1
2

0 是正交矩阵，

x

9年9月15日星期日
12
例2
已知 A为正交矩阵，证明 AT , A1, A*也为正交矩阵.
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3. Def：若P为正交阵，则线性变换 y Px
称为正交变换。 (P136定义5.1.7)
0

6.正交：, 0 零向量与任意向量都正交
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5
二、正交向量组与施密特正交化方法
1．def：设有非零向量组1,2 m，任意两向量
i , j 0i j ， 即 ： 向 量 两 两 正 交 ， 则 称
1,2 m为正交向量组。(P132定义5.1.4) 2．def：正交向量组1,2 m，且每个向量均为 单位向量 i 1，则称1,2 m为标准正交向
k , k 1 k 1, k 1
k 1
单位化：k
k k
k 1, 2,
,m
标准正交向量组
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小结
“对乘加”
内积：, a1b1 a2b2 anbn
模(范数)：
, a12 a22 an2
量组（正交规范向量组）。 (P133定义5.1.5)
2019年9月15日星期日
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3. 定理1：正交向量组必线性无关. (P132定理5.1.1)
4. 定理2：任一线性无关的向量组都可化为(标准) 正交向量组.
施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组
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a11 a21
AT
A


a12
a22


a1n
a2n
an1 a11 a12
an
2


a21
a22

ann


an1
an 2
a1n
a2n


ann

1,1 1,2
1,n 1 0
0



2
,1

2 ,2
2019年9月15日星期日
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三、正交矩阵与正交变换
1. def：如果n阶方阵 A满足 AT A E ，
则称 A为正交矩阵（简称正交阵）
2. 性质
(P135定义5.1.6)
：A1 AT
：A 1
：正交矩阵 A的行（列）向量组是正交规范向量组。 (P136定理5.1.2)
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第五章 矩阵的特征值、特征向量 和方阵的对角化
§5.1 向量的内积与正交向量组 §5.2 矩阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵与方阵的对角化 §5.4 实对称矩阵的对角化
第十一次课
教学内容
§5.1 向量的内积与正交向量组 教学目标及基本要求
了解内积、正交的概念 了解正交向量组的性质 掌握施密特(Schmidt)正交化方法 了解正交矩阵的概念及性质 重点
正交：, 0
正交向量组必线性无关.
2019年9月15日星期日
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施密特正交化方法（递推公式）：
正交化：
1 1
k 2,3, , m 正交向量组


k

k

k 1
, ,
1 1
1

k 2
, ,

2 2


2


y yT y xT PT Px xT x x
即：正交变换不改变向量的长度
2019年9月15日星期日
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复习
“对乘加”
内积：, a1b1 a2b2 anbn
模(范数)：
, a12 a22 an2
单位化：
0
施密特(Schmidt)正交化方法 难点 施密特(Schmidt)正交化方法
§5.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
1. def：设列向量 a1, a2 an T , b1,b2 bn T
内积 , T a1, a2
b1
an