ika ika a
(15-39’)
a
De )
在（15-39'）中消去C、D、G可得比值： B (k 2 2 ) sh 2a 2ika { } e A 2ikcha (k 2 2 ) sha
而反射系数 2
|B| 4k 2 2 1 R { 1 } | A |2 (k 2 2 ) 2 sh 2a
i ( kx wt )
＊由自由粒子的波函数 ( x, t ) e
可得：
（15-3）
i E t i p x 2 2 2 p 2 x
（15-4）
＊由（15-1）式，对于自由电子v(x)=0，有
E
p
2
2m
0
乘以即得
p2 2 2 (E ) i 0 或即 2 2m t 2m t
•§3-5 Schoedinger 方程 *Schroedinger方程的建立
（Establishment of the Schroedinger equation）
＊Schroedinger方程是量子力学中最主要的一个方 程。但这一方程是Schroedinger “猜”出来的。
＊当时de Brogile波的概念刚刚传到瑞士苏黎世，在 Debye的学生Schroedinger 做关于物质波的报告时， Debye评价说，“有了波就应有波的方程”，不久， Schroedinger 就给出了物质波的波动方程。 *“导出” Schroedinger方程的一种方法
势垒贯穿(Barrier penetration) 考察粒子穿越如图（15-6‘）原子的势垒. • 按照经典的观点，当粒子的能量E＜V0时， 粒子穿过势垒的概率为零。而当E＞V0时， 这一概率为1.
• 但根据量子力学，在上节中已看到，当E ＞V0时粒子仍会受到势垒的散射而出现 反射。这与经典的结果不一致。 • 本节中将会看到，当E＜V0时，微观粒子 仍能穿透势垒。这也与经典结果相违背 定态Schroedinger方程(The timeindependent Schroedinger equation) • 将x轴分为三个区域。区域Ⅰ(x ＜-a);V=0; 区域Ⅱ（-a＜x＜0);V=V0;区域Ⅲ(x＞0);V=0。
16E ( V0 E )
2 V0
e 2 a
(15-40’’)
而式中指数函数前的系数为一个数量级为1 的纯数。 势垒贯穿过程的波函数见图15.7 。
隧道效应（The tunneling effect） • 当 E<Vo 时，粒子仍能穿透势垒的现象就称为隧道 效应。 • 隧道效应不仅具有理论上（观念上）的重要意义， 而且有重大的应用价值。 • 晶体隧道二极管，超导隧道结等固体器件都是基于 量子隧道效应的原理制成的。扫描隧道显微镜 （STM）则更是隧道效应的一项巨大技术应用。 扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy) • 直接观察试样的单个原子像是电子显微学家长期追 求的目标。 • 二十世纪八十年代发展起来的扫描隧道显微镜以其 独特的优点和广泛的应用潜力应起了物理、化学和 生物工作者的极大兴趣。
• 用指数形式表示的波函数 1 代表了一个 沿x正向的入射波与一个沿x反方向的反射 波的叠加。类似的, 3 则表示了沿x正向 的透射波。(在x>0的区域没有反射波) • 由波函数及其导数在x=-a和x=0的连续性 条件可以得到表式：
Ae ika Beika Ce a Dea CDG ik ( Ae Be ) (Ce (C D ) ikG
这表明，微观粒子也将受到势阱边界的散射，而 宏观粒子当E>Vd时则是脱离势阱束缚的 自由粒子。 其动能是不变的。 参看阅读资料：(The free particle and its behavior at potential step)
§3-6 势垒贯穿、隧道效应(Barrier penetration:the tunneling effect)
2 2 i 2 t 2m x
（15-5）
这就是自由粒子的Schroedinger方程。 ＊对于v(x)=v。(常数)的情形，（15-3）也是方程
2 2 V0 i （15-6） 2 2m x t
的解，且将 代入后有 这与（15-2）式相一致。 ＊现把（15-6）式推广到一般的 势场v(x)，则可认 为粒子的波函数满足：
在区域Ⅰ和Ⅲ，Schroedinger方程为：
(15-35) d 2 2m E 2 mE 2 2 k ( k ) 2 2 2 dx
在区域Ⅱ，则有：
d 2 2m 2m(V0 E ) (15-37) 2 2 2 (V0 E ) ( ) 2 2 dx 定态波函数 (time independent wave function) • 容易看出， 满足（15-15）和（15-37）的定态 波函数是: 1 ( x) =Aeikx+Be-ikx (x<-a) 2 ( x) =Ceαx+De-αx (-a<x<0) (15-38’) 3 ( x) =Geikx (x>0)
则 d d x
2
2
k
2
（15－25）
＊（15－25）的解为 A sin(kx ) （15－26） ＊由波函数在x=0处的连续性条件有 (0) 0 （因为阱外 v( x)
必为0）
因此 0
即 A sin( kx )|x 0 A sin
（Construction of the Schroedinger equation）
＊考察一维运动的非相对论性粒子，其能量为： p v( x) E
2
2m
（15-1）、
＊利用de broglie关系，E , p k 上式变为
( k )
2m
2
V ( x)
（15-2）
A sin(kd ) A sin(kd ) 0
＊由波函数在x=d处的连续性条件 (d ) 0 又有
因此 kd n n 1.2 (15-27)
＊根据连续性结果，可得：

E
n
n
( x ) A sin
nx d
2
（15－28）
2 2 2 2

k
2m
2
2
(

STM具有以下特点： • １ . 可在真实空间直接得出表面结构的三 维图像。其横向、纵向分辨率分别可达 0.1nm和约0.005nm • ２不需要任何光学透镜或电子透镜． • 3. 不 象 透 射 电 镜 (TEM) 、 场 离 子 显 微 镜 （FIM）那样必须把样品放在真空中才能 进行观察。这对生物样品具有特别的意 义。 • 4.不对试样造成任何辐照损伤。 • 我国科学工作者于1987年11月成功地研制 出了国内第一台STM（白春礼院士）
粒子出现在中间的几率为零。 ［例二］一维有限陷阱（图15.3） ＊一维有限陷阱的 可表示为 d x 当 0 2 V ( x) （ 15 － 31 ） d Vd 当 x 2 ＊在势阱内，波函数为正弦波（参看例一） ＊在势阱外， Schroedinger方程为：
[ d 2m d
2 2

2m

(k )
2
V

2 V ( x) i 2 2m x t
2
（15-8）
这就是一般的Schroedinger方程。 ＊容易看出，只要将（15-1）式中的E-> i t ，
p i x
（15-9）
然后作用到 上，即可得（15-8）式。 ＊将（15-8）式再进一步推广到三维的情形，有
2m
n ) d

n h 8m d
（15－29）
nx dx d d 1 2
＊（15－28）式中的常数可由归一化条件确定：

d
n
2
2
dx
2

ห้องสมุดไป่ตู้

A sin A
2
2
2
A sin
0
nx dx d
由此 A
2 d
2 nx sin d d
（15－30）
＊图15.2绘制了n=1.2.3时的波函数和几率密度。 当n=1时，粒子出现在中间的几率最大，当n=2时
i dT 1 2 2 [ V (r )] E （分离变量常 T dt 2m
数）
将（15－15）分为两式：
i dT T dt E
（15－16）
（15－17）
(r )可得 ＊把常数T。归入
(r , t ) (r ) e
＊由（15－17）式。
[ 2m
应用举例（Some applications） ＊考虑一维运动的粒子，其势能为
v( x)
0
0 xd
xd x 0

（15－22）
称为一维无限势阱（图15.11） ＊在势阱内， Schroedinger方程为 d 2m E E 若记 k 2m d x
2 2 2
2 2
2 2
[ 2m 1
2
2
V (r )] E
iEt /
（15－19）
V (r )] E
（15－20）
此即定态Schroedinger方程，式中E具有能量的纲
＊由（15－19）式可见，对于定态问题，几率密度 * * (r , t ) (r , t ) (r ) (r ) 与时间无关。
x
2
V d ] E
或即 d
d
2