…第三章 平面问题的直角坐标解答【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件&上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y xy x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩yxf xf￥主矢的中心在矩下边界位置。

即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

偏心距e ：因为在A 点的应力为零。

设板宽为b ，集中荷载p的偏心距e ：2()0/6/6x A p pee h bh bh σ=-=⇒= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。

/【3-6】试考察应力函数223(34)2F xy h y hΦ=-，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）444422420∂Φ∂Φ∂Φ++=∂∂∂∂x x y y，显然满足 <（2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式312,0,x y Fxyh σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2hy =±，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()()/2/20,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：22340:0,1-2x y F y x f f h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭3221234:,12x y Fly F y x l f f h h h⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭"因此，各边界上的面力分布如图所示：y③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0上 x=l 上1212h/2/2/2/2h/2/2/2/2h/2/212-h/2/2=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl-----======-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰向主矢：向主矢：主矩：因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(a) (b)]因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F 作用的问题。

【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q （图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。

(1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x σ=(2)推求应力函数的形式将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有)220x x f x yσ∂Φ=-=∂对y 积分，得xyo bg ρhhbq图3-10()f x y∂Φ=∂ （a ） ()()1yf x f x Φ=+ （b ）其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。

（3）由相容方程求解应力函数。

将（b ）式代入相容方程（2-25），得()()441440d f x d f x y dx dx+= （c ） &在区域内应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即()()44140,0d f x d f x dx dx== 两个方程要求()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+ （d ）()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。

将（d ）式代入（b ）式，得应力函数()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）（4）由应力函数求应力分量220x x f x yσ∂Φ=-=∂ （f ）~226262y y f y Axy By Dx E gy xσρ∂Φ=-=+++-∂ (g)2232xyAx Bx C x yτ∂Φ=-=---∂∂ (h)(5)考察边界条件利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。

主要边界0x =上（左）：()000,()0x xy x x στ====将（f ），（h ）代入()00x x σ==，自然满足'0()0xy x C τ==-= （i ）主要边界x b =上，()0x x b σ==，自然满足()xy x b q τ==，将（h ）式代入，得2()32xy x b Ab Bb C q τ==---= （j ）在次要边界0y =上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：()2000()62320bby y dx Dx E dx Db Eb σ==+=+=⎰⎰ （k ）()3200()6220b b y y xdx Dx E xdx Db Eb σ==+=+=⎰⎰ （l ）…()23200()320b byx y dx Ax Bx C dx Ab Bb Cb τ==---=---=⎰⎰ （m ）由式（i ），(j)，（k ），（l ），（m ）联立求得2, , 0q qA B C D E b b=-====代入公式（g ），(h)得应力分量230, 13, 2x y xy qx x q gy x x b b b b σσρτ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）(设应力函数3223=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）(2) 由式（2-24）求应力分量由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：2226x x f x Cx Dy yσ∂Φ=-=+∂ （a ）2262y y f y Ax By gy y σρ∂Φ=-=+-∂ （b ）222xy Bx Cy x yτ∂Φ=-=--∂∂ （c ）（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。

①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：.0()0y y σ==，0()0yx y τ== （d ）将式（d ）代入式（b ），（c ），可得0=0A B =， （e ）②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，cos m α=.由公式（2-15），得应力边界条件 tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-⋅+⋅=⎫⎬-⋅+⋅=⎭（f ）将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得2cot ,cot 23g g C D ρραα==- （g ）将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：2cot 2cot cot x y xy gx gy gygy σραρασρτρα⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩ 【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应力函数的形式。

按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与x y g αρ，，和有关。

由于应力分量的量纲是12L MT --，而,x y 的量纲是L ，g ρ的量纲是12L MT --，又是量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是,A gx B gy ρρ这两种项的结合，其中A ，B 是量纲一的量，只与α有关。

应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为x 和y 的纯三次式，故可假设应力函数的形式为3223Ax Bx y Cxy Dy Φ=+++。