dt
另有
d dt
(1 2
m
2
)
d dt
(B)
dB dt
B
d
dt
1 T
(
1 2
m
2
)
2.8 - 时变电场
E
B漂移
EB
EB B2
E变化
EB
变化
导向中心加速度
EB
d dt
(
EB B2
)
加速的导向中心坐标系会感受到力的存在
Fa
m
d dt
(
EB
B2 )
这个力产生另一个漂移
p
1 q
Fa B
B2
• 令垂直方向的总速度=0
z
0 ||
Bz BT
m|2|
q
1 BT R
所需z方向磁场
Bz
m||
Rq
• 新问题：所需的Bz取决于 ||和q 一个固定的Bz只能补偿正、负电荷粒子中的一
种，并且只能恰当补偿某一速度 || 的粒子
•不能同时补偿所有的粒子, 仅垂直磁场不够
2.5.2 螺旋磁场方案
( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0
r 2 r r r r 2 r
r r r r 2 r r r r 2 2 r
1 2u 1 u 1 u 2u 2 u 2u 1 u 0 2u u 0
r r 2 r 2 r r 2 r r 3 r 2 r r 3 2 r
守恒
2.6.2 – μ为运动常数的证明
A为矢势，
B
A。在柱坐标系中
A
(1
Az
r
A z
)er
( r
[
r
(rA
)
Ar
]ez
Bz
1 r
(rA r
)
rL A (rL )
rL 0
rBz dr
rL2 2
Bz
m
| q |2
因此
p
q |q|
rL m
q
m
| q |2
q m
m qB 2
[E
]
♣ 对电子和离子产生的位移不同，使两者分离，产生极化
2.9 - 非均匀电场
粒子受Lorentz力
m
d
q[E(r)
B]
dt
对一个回旋轨道求平均
m dD
dt
0
q[
E(r)
D
B]
q[
E(r)
D
B]
E(r)
D
B，两边
B
E(r)
B
B
(D
B)
B 2D
(
BD=)
0
B
D
E(r) B2
回旋频率 | q | B m
拉摩半径
rL
m
|q|B
•
F
B漂移
电场力
EB
EB B2
其他力
FB
1 q
FB B2
• 梯度漂移 • 曲率漂移
B
1 q
m2
2B
B B
B2
m2
2q
Rc B Rc2 B 2
R
m|2|
q
Rc B Rc2 B 2
2.5 单粒子的环形约束
• 直线磁场不能有效地约束粒子 • 可用环形磁场来约束粒子
等离子体物理
第二章 带电粒子在电磁场中的运动
本次课内容
第二章 带电粒子在电磁场中的运动 2.5 单粒子的环形约束 2.6 平行磁场梯度的磁镜效应 2.7 时变磁场(感应电场) 2.8 时变电场 2.9 非均匀电场 2.10 漂移概要
上次课内容回顾
• Lorentz力
F
q(E
B)
• 均匀磁场中, 匀速圆周运动/螺旋运动
)
d dt
(1 2
m|2|
B)
0
d (B) dB 0 d 0，证毕
dt
dt
dt
2.6.2 – μ为运动常数的证明
(2) 角动量 粒子相对导向中心的角动量为
rLm
m
|q|B
m
2m |q|
1 m 2
2
B
2m
|q|
(3) 从角动量的直接证明
相对导向中心的正则角动量守恒
p
[r
(m
qA)]
z
r 2 2
引入极向磁场 : B
托卡马克的螺旋磁力线
2.5.2 螺旋磁场方案
B
环形磁场几何位型
B
对 运动的粒子产生Lorentz力
F
q
B
q B rˆ
力F产生的漂移
1 F B q B2
q B
qB2
rˆ B
B ˆ
B
2.5.2 螺旋磁场方案
• 沿环截面的磁场运动的粒子方程
r d
dt
B B
2.6.4 - 倾斜角θ
2.6.5 - 磁镜运动的其他特征
2.6.1 - 元磁矩回路上的作用力
平面矩形回路, I, dxdy = dA
Bz(x)
在B(r)中作用在回路上的力
F
(x,y) I Bz(y) Bx(x)
(x,y+dy) Bz(y+dy)
Bz(x+dx) By(y)
By(y+dy)
(x+dx,y) (x+dx,y+dy) Bx(x+dx)
B B
B B
||
B B
||
r 常数
• 迭加z方向的曲率和梯度漂移
速度分量
r d
dt
B B
|| d cos
dr dt
d
sin
• 两式相比,消去时间
1 dr d sin
r d
B B
||
d
cos
2.5.2 螺旋磁场方案
• 积分
r dr d sind
r0 r
π/2
B B
||
d
cos
r
r0
/[1
环形磁场几何位型
电荷垂直分离引起的漂移
• 问题：曲率漂移和梯度漂移使使离子向上,电子 向下, 电荷分离 E E B 向外运动
2.5 单粒子的环形约束
如何解决电荷的垂直分离？ 2.5.1 垂直磁场方案 2.5.2 螺旋磁场方案
2.5.1 垂直磁场方案
|| 0,
0的电子束 ,
漂移为
d
m|2|
en
[exp(
e
Ti
)
e
exp( Te
)]
因 e Te , Ti
故T aylor展开,
c
en[(1
e
) (1 Ti
e
)] Te
n
e
2
(
1 Ti
1 Te
)
则2 ne2 ( 1 1 ) ,
0 Ti Te
2
其中 0 TiTe
ne2 Ti Te
以点电荷为中心的带电粒子球中，由对称性，
方向的净减速力
• 定义磁矩
1 2
m2
/
B
rL
m
|q|B
＝环形电流定义
AI
πrL2
|
q |
2πrL
| q | rL
2
• 作用在“磁偶极”矩 上的力为
F|| ||B 与磁场梯度方向相反
I | q | / t
t 2πrL /
2.6 - 平行磁场梯度的磁镜效应
磁镜效应的一些性质 2.6.1 - 元磁矩回路上的作用力 2.6.2 - μ为运动常数的证明 2.6.3 - 磁镜俘获
q
B B B2
2.6.2 – μ为运动常数的证明
(1) 由F||证明 平行运动方程
m d||
dt
F||
dB dz
，两边乘以
||
m||
d||
dt
d dt
(1 2
m|2| )
||
dB dz
z
dB dz
dB dt
或
d dt
(1 2
m|2| )
dB dt
0
总动能守恒
d dt
(1 2
m|2|
1 2
m
2
tan ||
B0 Br
2 0
2 0
2 ||0
sin 2 0
临界角θc将速度空间分为损失锥和磁镜俘获区
给定倾斜角θ0,在 B0 / Br sin 2 0 处发生反射
1
临界角 c sin 1(B0 / Br ) 2
损失锥为所有θ < θc
2.6.5 - 磁镜运动的其他特征
• 回旋轨道包围的磁通量为常数
(x2
2
y2
2
)E
2! x 2 2! y 2
1 ( cos2
2
sin 2
2
)E
2!
x 2
y 2
1 ( 2
2
)E
1
2E
4 x2 y 2
4
E(r)
E
rL2
2E
4
因此作一次拉摩半径修 正的E B漂移为
EB
(1
rL2 4
2)
EB
B2
2.10 - 漂移概要
极化
p
|
q q
|
E B
| q |2
磁矩守恒本质上是粒子相对导向中心的角动量守恒
2.6.3 - 磁镜俘获
F|| 有可能将粒子反射回去
在反射点 ||r 0，能量守恒
1 2
m(20