《动态数学思维》教案
教材版本：人教版学校：
第一课时
第二课时
复备内容及讨论记
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教学过程
师：同学们好，上节课我们主要学习了单项式除以单项式，
这节课我们就来学习学习多项式除以单项式，哪位同学给大
家说说多项式除以单项式的计算法则呢？
生：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一
个因式.
师：接下来让我们来看看下面这道该怎么解.
探究类型之四多项式除以单项式
例4 如图，将左边的瓶子装满水，如果将这个瓶子中的水
全部倒入右边的杯子里，那么需要多少个这样的杯子？
1.教师指定学生读题，说说自己的思路.
生：分别计算出左边瓶子和右边杯子的容积，然后用除法计
算.
师：怎么计算它们的容积呢？
生：左边的瓶子的容积等于下面大圆柱体的体积加上上面小
圆柱体的体积，而圆柱体的体积等于底面积乘高.
师：请大家自己表示出左边瓶子和右两边杯子的容积，然后
算一算吧.
2.学生独立完成解答.
3.教师指定学生汇报讲解，集体核对答案.（师要注意提醒
学生：杯子的个数必须是整数，我们最后还需要讨论一下我
们所求出来的是不是整数）
4.师：分类讨论是重要的数学思想.
答案：
解：从图形可知，需要这样的杯子的个数为：
22
222
111
()(2)()8
222
11
()()
42
1
2
2
a h a H a
a h a H a
h H
πππ
πππ
⎡⎤⎡⎤
+⨯÷⨯⨯
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=+÷
=+
2
1
2
.
当
1
2
2
h H
+是整数时，需要
1
2
2
h H
+个杯子；
当
1
2
2
h H
+不是整数时，需要大于
1
2
2
h H
+的最小整数个杯子.
探究类型之四整式除法的创新应用
例5 郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：
x→平方→+x→÷x→-x→答案.林军拿了几个数试了
一试，列出如下表格：
（1）请将表格填写完整.
（2）试用一个算式表示这个程序.
（3）结合（1），（2），你发现了什么结论？
1．学生读题，并独立思考.
2．学生尝试解答.
3．根据学生计算情况老师出示答案进行讲解
答案：
（1）
（2）解：计算过程表示为：（x2+x）÷x-x
（3）可以发现结论：
当x≠0时，（x2+x）÷x-x=1，
所以无论x取x≠0时的任何一个值,结果都是1．
由于本讲教材内容较简单，补充下面几道题:
拓展延伸：
1. 计算：
（1）（2x2y+2x+4）-2（x2y+2）；
（2）（x-y+1）（x+y+1）；
（3）（x-y）2（x2+y2）2（x+y）2；
（4）［（ab+3）（ab-3）-7a2b2+9］÷（-2ab）.
（补充整式的混合运算）
指定学生到黑板上板演，其他同学草稿纸上计算，指出错误，并更正.
答案：
解：（1）（2x2y+2x+4）-2（x2y+2）
=2x2y+2x+4-2x2y-4
=2x；
（2）（x-y+1）（x+y+1）
=［（x+1）-y］［（x+1）+y］
=（x+1）2-y2
=x2+2x+1-y2；
（3）（x-y）2（x2+y2）2（x+y）2
=（x-y）2（x+y）2（x2+y2）2
d（5）=d(10
2
)=d（10）﹣d（2）=0.6990；
∵d（8）= d（2×2×2）=3d(2)=0.9030，d（10﹣2）=-2，∴d（0.08）=d（8×10﹣2）=d（8）+d（10﹣2）
=3d(2)﹣2=-1.097.
（3）如下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
学生先独立思考，然后小组讨论，师根据每组的思路进行适当的引导.（提示学生：d(9)，d(3）,d(27)三者的关系)
因为有难度，（学生可能得不到最后结论）老师需要灵活控制讨论时间，若学生有结论，可指定两名组长说说小组讨论的成果. 老师点评.
注：老师讲解反证法：
1.假设命题反面成立；
2.从假设出发,经过推理得出和条件矛盾,
3.得出原命题正确.
答案：
解：d（1.5）和d（12）是错误的.
纠正：
∵d（2）= 1﹣a﹣c，d（3）=2a﹣b，
∴d（1.5）=d(3
2
)=d（3）-d（2）=3a﹣b+c﹣1，
∵d（2）= 1﹣a﹣c，d（6）= 1+a﹣b﹣c，d（12）= d（2）+d（6）=2﹣b﹣2c．
课堂总结
本讲教材及练习册答案：类似性问题：
1.B
2.D
3.-4a2 b5
4.1
5.（p
q
）2
6.解：（1.5×108）÷（3×105）=0.5×103=500（秒）.
答：太阳光射到地球上需要500秒．
7.解：（1）（mn）8÷（mn）2=（mn）8-2=m6n6；
（2）（3x2y）2÷（-15xy3）·（-9x4y2）
=9x4y2÷（-15xy3）·（-9x4y2）
=27
5
x7y．
8.解：由条件知a+1
2
=0,b-2=0,c+1=0,所以a=-
1
2
，b=2,c=-1,
所以原式＝（
8
27
-6a6c）÷
4
3
2
a4c·4c2b
=
2
9
-4a2b6c.
当a=-1
2
,b=2,c=-1时，
原式＝
2
9
-×4
1
()
2
-×2²×6
(1)
-＝
1
18
-.
练习册
1.C
2.A
3.C
4.x≠7
5.x-3
6.b n=
2
1 n
n
+ +
7.(1）-1；
（2）-2b．
8.解：根据题意，神舟十号飞船绕地球运行的速度为（1.58×107）÷（2×102）
=0.79×105
=7.9×104（m/s）．
9.解：（x m÷x2n)3÷x m-n=(x m-2n)3÷x m-n =x3m-6n÷x m-n=x3m-6n-(m-n)=x2m-5n.
∵(x m÷x2n)3÷x m-n与- 1
4
x2为同类项，
∴2m-5n=2.又∵2m+5n=7,
∴m= 9
4
，n=
1
2
,
∴4m2-2n2=4×(9
4
)2-2×(
1
2
)2
＝79
4
.
10.解：原式=［9x2-4y2-(5x2-2xy+10xy-4y2)］÷8x
=(4x2-8xy)÷8x
=1
2
x-y
=1
2
(x-2y)
=1
2
×2 012＝1006.。