一、问题引入：
1、如下图，在直线异侧各有点PA+PB最小。
A 分
析：根
据“两
点之间
线段最
短”，
可知：
连接
AB, 与
直线的
交点即为P 点. 此基本类型为：一线（直线）两定点（点A B）。
2、如下图，在直线同侧各有点A B,在直线上找一点p，使
PA+PB最小。
A
• B
二、典型例题：
（1 ）、以菱形为媒介的最短距离问题：
如下图，菱形ABCD中，/ BAD=60 , AB=4,点M是AB中点,
P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB勺最小值是多少？
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2,A ABE为等边三角形，且点E 在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为多少？分析：作点A关于直线的对称点A',连接AA', 则直线就是线段AA'的
垂直平分线，根据“垂直平
分线上一点到线段两端点的
距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A'的距
离。
事实上，这个问题就可
以转化成：在直线异侧各有点A'、B,在直线上找一点
p，使PA' +PB最小。
即：一线两定点的问题。
由（1）得，连接BA', 与直线的交点即为点P。
分析：由题意知：首先找点
B或者点M关于AC所在直线的对称点。
由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点
B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。
那么PM+PB勺最小值实际上就是线段DM
的长度
分析：由题意知：首先找点D 或者点E关于AC所在直线的对称点。
由正方形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC 的对称点，则连接
A B,在直线上找一点p，使
线段AC的交点即为P点。
那么PD+PE勺最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2
(3)、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，O 0的半径为2，点A B、C在O O上，OAL 0B / AOB=60 , P是0B上一动点，求PA+PC勺最小值分析：由题意知：首先找点A或者点C关于0B所在直线的对称点。
由圆的轴对称性不难发现：延长A0交圆于点A',则点A' 即是点A关于直线0B的对称点，则连接CA与线段0B的交点即为P 点。
那么PA+PC勺最小值实际上就是线段CA的长度。
(4 )、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x A2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y 轴交与点C,对称轴上存在一点卩，使厶PBC周长最小，求P 点坐标。
三、巩固加深：
(5)、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ ABC中，AB=4, / BAC=45 , / BAC的角平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是多少？分析：由题意知：易得
A(-3 , 0) , B(1 , 0) , C(0, -3)，对称轴为: x=-1 , △ PBC周长=BC+PB+PC 因为BC是定值，则求△ PBC 周长的最小值实际上就是求
PB+PC的最小值。
然后找点B或者点C关于对称轴的对称点。
由二次函数的轴对称性不难发现：点A即是点B关于对称轴的对称点，则连接AC与对称轴的交点即为P点。
根据A点和C点坐标求出直线AC的函数解析式，然后令
x=-1得出y的值，即得P点坐标。
分析：由AD是/ BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N' —定在线段AC
上，则直线AD是线段NN的垂直平分线，则MN=MN ,则求BM+MN勺最小值就是求BM+MN的最小值。
易知点B M N' 三点共线时BM+MN最小，根据"点到直线上点
四：课堂小结：
通过本节课的学习，我们发现要想灵活掌握“利用轴对称来解决最短距离”的问题还是不容易的，它需要我们具有系统的知识结构、很高的知识素养，同时也要求我们具有丰富的想象能力以及灵活的创新能力，它还要求我们在学好基础知识的同时，还需要有大量的课外阅读知识！的距离中垂线段最短” 得：过点B作AC的垂线，垂足为N'',贝U B N'' 的长度就是BM+M N的最小值，也就是BM+MN勺最小值。
由△ AB N''为等
腰直角三角形,
得。
AB=4 立
(6 )、如下图，在平面直角坐标系中，矩形OACB勺顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴上，0A=3 0B=4 D 为OB中点。
(1 )、若E为边0A上一个动点，当△ CDE周长最小时，求点E坐标。
(2)、若E、F为边0A上两动点，且EF=2,当四边形CDEF周
长最小时，求E、F坐标。
分析：(1)、很简单，作点D 关于x轴的对称点D',连接CD 与x轴的交点即为E点，然后根据点C和点D'的坐标求出
一次函数解析式，令y=0, 得x 的值，立得。
(2)、要求四边形CDEF 周长的最小值，因为线段CD EF 都是定值，所以只要求
DE+CF的最小值即可。
根据“两点间线段最短”,如果能将线段DE和CF转化到同一条直线上，那么求出的值肯定最小，于是我们想到作D关于x 轴的对称点D (0 , -2), 作点
G(2, -2)，贝U GD =2，连接CG交x轴于点F, 则F点确定了，E点也就随之而确定。
这时四边形EFGD是平行四边形，则FG=ED =DE,此时CG 就是DE+Cf的最小值。